Generování grupy

Mějme grupu ${\displaystyle G\!}$. O množině ${\displaystyle A\subseteq G}$ říkáme, že generuje grupu ${\displaystyle G\!}$, pokud pro každé ${\displaystyle g\in G}$ existují prvky ${\displaystyle a_{i},i=1,2,...,n\!}$, takové, že ${\displaystyle a_{i}\in A}$ nebo ${\displaystyle a_{i}^{-1}\in A}$ pro všechna ${\displaystyle i=1,2,...,n\!}$, a platí ${\displaystyle g=a_{1}\circ a_{2}\circ ...\circ a_{n}}$.

Některé z prvků ${\displaystyle a_{i}}$ přitom mohou mít stejnou hodnotu.

O grupě ${\displaystyle G\!}$ také hovoříme jako o grupě generované množinou ${\displaystyle A}$.

Každý prvek množiny ${\displaystyle A}$ je označován jako generátor grupy.

Grupa generovaná jednoprvkovou množinou se nazývá cyklická grupa.