Logaritmus

Myšlenka logaritmu vznikla jako rozšíření myšlenky exponentu. Že 2 × 2 = 4 můžeme zapsat také jako 2¹ × 2¹ = 2² a místo 4 × 8 = 32 můžeme napsat 2² × 2³ = 2⁵. Exponent součinu je tedy součet exponentů obou součinitelů, takže při zvoleném základu (2) můžeme násobení převést na sčítání exponentů, zatím jen pro celé exponenty. Podobně můžeme zapsat i dělení: 32:4 = 2⁵: 2² = 2³, čili 8. Stejně 1/2 = 1:2 = 2⁰:2¹ = 2⁻¹ čili 0,5. Místo dělení stačí odečítat exponenty.

Číslo 2 jsme zvolili jako základ a místo „exponentu dvou“ můžeme psát log₂. Můžeme tedy napsat, že log₂ 32 = 5, log₂ 8 = 3, log₂ 4 = 2, log₂ 1 = 0 a log₂ 0,5 = −1. Pro každé číslo x (kromě nuly) platí, že log₂ 2x = (log₂ x) + 1, log₂ 4x = (log₂ x) + 2. Protože 8 = 2³, můžeme také psát 8 = 2¹ × 2¹ × 2¹ = 2^(1+1+1) a 8 = 2^(3x1), takže místo umocňování stačí exponent násobit a místo odmocnění exponent dělit.

Kdybychom místo dvojky zvolili základ 10 (desítkový logaritmus), můžeme psát log₁₀ 0,1 = −1, log₁₀ 1 = 0 (to platí pro každý základ), log₁₀ 100 = 2 atd. I tady bude platit, že log₁₀10x = (log₁₀ x) + 1, log₁₀ 100x = (log₁₀ x) + 2.

Dokud jsme mluvili o exponentech, mělo to smysl jen pro celá čísla. Když jsme ale zmínili, že místo odmocňování stačí exponent dělit, může vyjít i necelé číslo: druhou odmocninu z deseti bychom mohli zapsat jako 10^(0,5). To je právě to, co dělá logaritmická funkce: pokud různé hodnoty výrazu z^x vyneseme do grafu (viz obrázek), můžeme jimi proložit spojitou křivku – logaritmickou funkci, které má hodnotu pro všechna reálná x>0. Logaritmus čísla 3 bude někde mezi log₁₀1 a log₁₀10, tedy reálné číslo někde mezi nulou a jedničkou. Z logaritmické tabulky můžeme zjistit, že log₁₀ 3 = 0,47712125472, takže číslo 3 můžeme zapsat jako 10^{0,47712125472}. I zde bude platit, že log₁₀ 10x = (log₁₀ x) + 1, log₁₀ 0,1x = ( log₁₀ x) - 1, že logaritmus součinu se rovná součtu logaritmů obou činitelů a logaritmus podílu se rovná rozdílu logaritmus dělence minus logaritmus dělitele. Logaritmus mocniny je násobek exponentu a logaritmu mocněnce. Logaritmus odmocniny je podíl logaritmu odmocněnce a odmocnitele.

Počátkem novověku, s rozvojem astronomie a geodézie a s potřebami námořní navigace, nesmírně vzrostla potřeba složitých výpočtů, zejména trigonometrických, a to na velký počet platných číslic. O myšlence nahradit násobení sčítáním se poprvé zmiňuje korespondence švýcarského matematika a hodináře Josta Bürgiho v roce 1588. Ten skutečně sestavil tabulky funkce sinus a brzy po roce 1600 i tabulky jejích logaritmů, které však publikoval až roku 1620 v Praze. O šest let dříve publikoval metodu logaritmů skotský matematik John Napier, který tak platí za jejich objevitele, a roku 1617 publikoval první tabulky desítkových ("briggsových") logaritmů Henry Briggs.

Logaritmické tabulky čísel i goniometrických funkcí, s přesností na 5, 7, 10 až 14 platných číslic pak vycházely až do 20. století a byly nezbytnou pomůckou astronomů, geodetů, ale i námořních kapitánů a studentů aplikované matematiky (umožňovaly nahradit násobení a dělení prostým sčítáním a odčítáním). Logaritmy jsou základem pro ekonomické výpočty (úlohy na úročení, inflaci). Každý středoškolák se učil zacházet se školními, pěti- nebo sedmimístnými tabulkami. Pro přibližné technické výpočty (na 3-4 platná místa) se od poloviny 19. století rozšířilo logaritmické pravítko, jehož používání bylo vyučováno ve školách. Teprve s příchodem sálových počítačů v 60. letech 20. století, kalkulaček v 80. letech 20. století a tabulkových procesorů na osobních počítačích v 90. letech 20. století vymizela potřeba usnadňovat (ruční) výpočty pomocí logaritmů (tabulky, logaritmické pravítko).

Grafy logaritmů o základech 1/2, 2 a ${\displaystyle e}$

• ${\displaystyle a^{\log _{a}x}=\log _{a}{a^{x}}=x}$ (Logaritmus je inverzní funkcí k exponenciální funkci o stejném základu. Speciálně: ${\displaystyle \ln \exp x=\exp \ln x=x}$)
• ${\displaystyle \log _{b}(ac)=\log _{b}a+\log _{b}c}$ (Logaritmus součinu je součet logaritmů jednotlivých činitelů.)
• ${\displaystyle \log _{b}{\frac {a}{c}}=\log _{b}a-\log _{b}c}$ (Logaritmus podílu je rozdíl logaritmů čitatele a jmenovatele.)
• ${\displaystyle \log _{b}a^{r}=r\log _{b}a}$ (tzn. ${\displaystyle \log _{b}{\sqrt[{n}]{a}}={\frac {1}{n}}\log _{b}a}$; logaritmus mocniny je roven exponent krát logaritmus základu.)
• ${\displaystyle \log _{b}b=1}$
• ${\displaystyle \log _{b}1=0}$
• ${\displaystyle \log _{a}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}a}}={\log _{a}b}\;{\log _{b}x}}$
• ${\displaystyle \log _{a}x={\frac {\log x}{\log a}}={\frac {\ln x}{\ln a}}}$ (Formule umožňující vyčíslit logaritmus libovolného základu pomocí kalkulačky, případně logaritmických tabulek.)

Často je potřeba vypočítat přirozený logaritmus komplexního čísla. Platí:

${\displaystyle \ln z=\ln \left(x+\mathrm {i} y\right)=\ln(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi })=\ln r+\mathrm {i} \phi =\ln |z|+\mathrm {i} \cdot \mathrm {Arg} (z)}$

Byl zde použit exponenciální tvar komplexního čísla. Proměnná ${\displaystyle r=|z|}$ udává absolutní hodnotu komplexního čísla a ${\displaystyle \phi }$ udává argument komplexního čísla.

Máme-li tedy komplexní číslo, pak reálná část jeho logaritmu je rovna logaritmu absolutní hodnoty, zatímco imaginární udává argument (úhel). Je nutno uvést, že úhel komplexního čísla není definován jednoznačně, může se lišit o celé násobky ${\displaystyle 2\pi }$. Proto se někdy zavádí tzv. hlavní hodnota logaritmu ${\displaystyle \mathrm {Ln} }$, u které se většinou uvažují úhly z intervalu ${\displaystyle (-\pi ,\pi \rangle }$.

Jednoduchou školskou úlohu na využití logaritmu je například otázka, kolik číslic bude mít mocnina daného čísla. Protože je naše číselná soustava desítková, vypočteme dekadický logaritmus zadané mocniny (z výsledku vyplývá, že číslo ${\displaystyle 2^{100}}$ má celkem 31 cifer): ${\displaystyle \log 2^{100}=100\cdot \log 2=30,10299957}$

Pomocí vztahu pro Taylorův rozvoj, případně zintegrováním geometrické řady

${\displaystyle {\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-\cdots }$

(člen po členu) lze obdržet (Maclaurinův) rozvoj logaritmu do řady kolem bodu 1:

${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }$

Tato řada má poloměr konvergence 1, navíc konverguje i pro krajní bod ${\displaystyle x=1}$, kde obdržíme známou Leibnizovu řadu pro ${\displaystyle \ln 2}$ (konverguje však velmi pomalu):

${\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots }$

Řadu pro logaritmus je možné vyjádřit i pro komplexní číslo ${\displaystyle z=\mathrm {i} y}$. Pak z předchozího vyplývá, že platí:

${\displaystyle \ln(1+\mathrm {i} y)=\ln {\sqrt {1+y^{2}}}+\mathrm {i} \cdot \mathrm {arctg} \,y}$

Stejně tak lze tento výraz vyjádřit pomocí řady:

${\displaystyle \ln(1+\mathrm {i} y)=\mathrm {i} y+{\frac {y^{2}}{2}}-{\frac {\mathrm {i} y^{3}}{3}}-{\frac {y^{4}}{4}}+\cdots }$

Porovnáním imaginárních částí vznikne řada pro ${\displaystyle \mathrm {arctg} }$:

${\displaystyle \mathrm {arctg} \,y=y-{\frac {y^{3}}{3}}+{\frac {y^{5}}{5}}-\cdots }$

Dosazením ${\displaystyle y=1}$ vyjde řada pro Ludolfovo číslo:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }$

Tato řada však bohužel také konverguje velmi pomalu.

• Diskrétní logaritmus

• Obrázky, zvuky či videa k tématu logaritmus na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo logaritmus ve Wikislovníku
• Logaritmus v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Logaritmické tabulky čísel od 1 000 000 do 9 999 999