L-systém

Následující příklad je Lindenmayerův původní L-systém pro modelování růstu řas (konkrétně Anabaena catenula). Tato řasa má dva typy buněk, které tvoří řetízky. Každý typ se vyznačuje odlišným chováním, které probíhá ve fázích. Následující L-systém zachycuje právě toto chování.

Jednotlivé iterace vypadají následovně:

i = 0 : A

i = 1 : AB

i = 2 : ABA

i = 3 : ABAAB

i = 4 : ABAABABA

i = 5 : ABAABABAABAAB

i = 6 : ABAABABAABAABABAABABA

i = 7 : ABAABABAABAABABAABABAABAABABAABAAB

Procentuální zastoupení A : B inklinuje k poměru 61,8034 : 38,1966 %.

Mějme následující gramatiku:

Oproti 1. příkladu se liší pouze v prohození vzorů přepisovacích pravidel, nicméně výsledek bude odlišný.

i = 0 : A

i = 1 : B

i = 2 : AB

i = 3 : BAB

i = 4 : ABBAB

i = 5 : BABABBAB

i = 6 : ABBABBABABBAB

i = 7 : BABABBABABBABBABABBAB

Zajímavé na tomto L-systému je to, že délka výsledného řetězce v i-té iteraci je rovna i-tému číslu ve Fibonacciho posloupnosti (pro ${\displaystyle {\text{fib}}(0)=1}$ a ${\displaystyle {\text{fib}}(1)=1}$):

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

Výstupní řetězec má stejnou vlastnost, která platí pro Fibonacciho posloupnost, tj. i-té číslo (${\displaystyle i>1}$) je součtem předchozích dvou. Tedy i-tá iterace tvořena spojením iterací ${\displaystyle i-2}$ a ${\displaystyle i-1}$. Malou změnou druhého přepisovacího pravidla na (B → BA) bude výsledek splňovat stejné vlastnosti jako původní, jen se budou iterace spojovat „popořadě“, tedy i-tá iterace bude tvořena spojením iterací ${\displaystyle i-1}$ a ${\displaystyle i-2}$. Z toho vyplývá i to, že délky jednotlivých iterací budou také odpovídat číslům ve Fibonacciho posloupnosti. Tato odlišnost ve Fibonacciho posloupnosti není, protože sčítání dvou čísel je komutativní.

Další zajímavou vlastností řetězců v příkladech 1 a 2 je úzká souvislost se zlatým řezem. Pro ${\displaystyle i>0}$ platí, že symbol na k-tém místě od neměnného konce („začátek“ u př. 1, „konec“ u př. 2) je buď A nebo B, podle toho, zda nějaký celočíselný násobek zlatého řezu padne (náleží) do otevřeného intervalu ${\displaystyle (k,k+1)}$. Poměr počtu symbolů A a B tedy pro ${\displaystyle i\rightarrow \infty }$ konverguje k hodnotě zlatého řezu

${\displaystyle \varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}\approx 1,618.}$

V následující tabulce je tato vlastnost konkrétně ukázána na L-systému Fibonacciho posloupnosti.

k	k-tý symbol	interval	nás. zl. řezu	matematický důvod
1	B	(1, 2)	1	${\displaystyle \varphi \approx 1,6181\in (1,2)}$
2	A	(2, 3)	neexistuje	${\displaystyle \varphi \approx 1,618\notin (2,3)}$ a ${\displaystyle 2\varphi \approx 3,236\notin (2,3)}$
3	B	(3, 4)	2	${\displaystyle 2\varphi \approx 3,236\in (3,4)}$
4	B	(4, 5)	3	${\displaystyle 3\varphi \approx 4,854\in (4,5)}$
5	A	(5, 6)	neexistuje	${\displaystyle 3\varphi \approx 4,854\notin (5,6)}$ a ${\displaystyle 4\varphi \approx 6,472\notin (5,6)}$
6	B	(6, 7)	4	${\displaystyle 4\varphi \approx 6,472\in (6,7)}$

Představa, jak želva něco kreslí (želví grafika)

Obvyklá (a jedna z nejjednodušších) je interpretace pomocí želví grafiky. Tato interpretace chápe symboly jako příkazy pro štětec (želvu nesoucí štětec), který podle nich kreslí úsečky a vyplněné polygony v rovině. Interpretace probíhá dvoufázově, nejprve se L-systém vygeneruje (vyiteruje) do požadované iterace a poté se výsledek interpretuje (kreslí). Pro první fázi musí být zadán počet iterací a pro druhou výchozí stav štětce (želvy). Ten v nejjednodušší variantě obsahuje délku kroku a úhel otočení štětce, ale může obsahovat i různé další údaje, jako např. barvu nebo šířku štětce. Během druhé fáze interpretace je také udržován stav štětce v rovině, tedy v jakém místě se nachází a jak je orientován. V následující tabulce je shrnuta obvyklá interpretace symbolů ve druhé fázi. Tyto příkazy dávají rozkazy štětci (želvě).

Pokud nebude uvedeno jinak, tato interpretace je použita u všech ukázek v tomto článku.

Výše uvedená 2D interpretace se dá jednoduše rozšířit do 3D. Štětec se bude pohybovat v prostoru místo v rovině. Stav bude podobný, tedy bude to poloha a orientace v prostoru. Pro pohyb v trojrozměrném prostoru je třeba více příkazů pro otočení, protože se dá otáčet podle 3 os (ve 2D je pouze 1 osa). V následující tabulce je seznam interpretací symbolů, které je potřeba přidat.

Graficky znázorněné otáčení ve 3D

Animace interpretace L-systému želví grafikou

Následující předpis vygeneruje část Kochovy vločky.

pozn.: výchozí poloha štětce (želvy) je vlevo dole a štětec je orientován vpravo

i = 0: F

i = 1: F+F--F+F

i = 2: F+F--F+F + F+F--F+F-- F+F--F+F + F+F--F+F

i = 3: F+F--F+F+F+F--F+F--F+F--F+F+F+F--F+F + F+F--F+F+F+F--F+F--F+F--F+F+F+F--F+F -- F+F--F+F+F+F--F+F--F+F--F+F+F+F--F+F + F+F--F+F+F+F--F+F--F+F--F+F+F+F--F+F

L-systémy byly vytvořeny pro modelování růstu rostlin. Vymodelovat jednoduchý stromeček je proto velmi jednoduché.

Přepisovací pravidla by se dala popsat slovy takto:

• symbol M představuje mladou část rostliny (na obr. zeleně), symbol S starou část (hnědě)
• první přepisovací pravidlo říká, že každá mladá část M se přepíše (nahradí) za starou část S, pak dvě mladé větvičky vlevo ([+M]) a vpravo ([-M]), dále starou část S a nakonec mladou část M
• druhé říká pouze to, že každá stará část S se přepíše na dvě staré části SS, jinými slovy, délka starých částí se mezi iteracemi zdvojnásobí

Na následujícím obrázku můžete vidět prvních 6 iterací i s grafickým znázorněním přepisovacích pravidel.

Graficky znázorněné přepisovací pravidlo L-systému Ostrovy a jezera

Další fraktál generovaný pomocí L-systémů se jmenuje „Ostrovy a jezera“ (z angl. „Islands and lakes“). Jeho předpis můžete také nalézt v knize The Algorithmic Beauty of Plants na str. 9.[4]

Výše uvedený předpis pro jednoduchost kreslí pouze hranice ostrovů a jezer. Avšak pro lepší představu byl následující obrázek vygenerován rozšířeným předpisem o příkazy, které generují polygony.

Pomocí složitějšího L-systému se dá generovat Penroseovo dláždění.

{{L-systém | abeceda = M N O P + - [ ] { . } | axiom = [N]++[N]++[N]++[N]++[N] | rrp0 = M | rrr0 = O++{.P.----N.[-O.----M.}]++ | rrp1 = N | rrr1 = +{.O.--P.[---M.--N.}]+ | rrp2 = O | rrr2 = -{.M.++N.[+++O.++P.}]- | rrp3 = P | rrr3 = --{.O.++++M.[+P.++++N.}]--N | uhel = 36 }} pozn.: vykreslování úseček proběhne až po vykreslení všech polygonů (aby je polygony nepřekryly)

• 
  0. generace
• 
  1. generace
• 
  2. generace
• 
  3. generace
• 
  4. generace

Vizualizace přepisovacího pravidla Gosperovy křivky

Následující křivka, která je pojmenovaná po americkém matematikovi a programátorovi jménem Bill Gosper, splňuje definici plochu-vyplňující křivky a také FASS křivky.

Na následujícím obrázku je 5. iterace Gosperovy křivky plynule obarvena celým barevným spektrem od červené až po fialovou. Díky tomu lze vidět, kudy a jak křivka vede.

Parametry symbolů slouží zejména pro snadné předávání číselných hodnot pro interpretaci a pro řízení vývoje L-systému. Při interpretaci symbolů želví grafikou, která se používá v tomto článku, se 1. parametr symbolů chápe následovně:

Pokud u výše uvedených symbolů není 1. parametr zadán, použije se výchozí hodnota (jako u D0L-systémů), pokud nejsou zadány ostatní parametry, mají nedefinovanou hodnotu (např. NaN). Příklady:

10. iterace H-stromu s parametry R = 1/√2 a U = 90

Jako jednoduchý příklad parametrického L-systému poslouží fraktál jménem H-strom. Říká se mu tak proto, že pro vhodně zvolené hodnoty proměnných vypadá jako písmena H tvořená z písmen H, tvořená z písmen H…

R a U jsou proměnné L-systému (nejsou to symboly abecedy, ani nemají nic společného s parametrickými L-systémy). Pro jejich různé hodnoty bude výsledek vypadat odlišně. Obvyklými hodnotami jsou R = 1/√2 a U = 90. Zajímavé je, že s těmito hodnotami tvoří H-strom plochu-vyplňující L-systém (a je dokonce v kategorii FASS). Mírně odlišný výsledek vznikne s hodnotami R = 0,69 a U = 85, na následujícím obrázku je jeho 10. iterace. Pro hodnoty proměnných R = 1/√2 a U = 45 vznikne Pythagorův strom.

Praktičtější ukázkou parametrických L-systémů je následující předpis ze str. 123[4] a jedná se o velmi jednoduchý L-systém modelující růst listu rostliny. Čím vyšší iterace, tím vyspělejší list. Tento předpis má i své nevýhody, růst se nikdy nezastaví a pro iterace větší než 20 není použitelný. Pro ovlivnění rychlosti růstu a jeho zastavení by se dal použít složitější předpis.

pozn.: symboly x, y, z nedělají nic, symboly F, S kreslí úsečku, viz interpretace symbolů

K je konstanta představující délku kroku. Je použita jen kvůli tomu, aby stonek (tvořený symboly S) nebyl příliš dlouhý (roste 2× pomaleji než list), může se zvolit např. 1. Na obrázku níže je 5. až 21. iterace L-systému listu.

Parametry symbolů se také dají použít k podmínění přepsání symbolu. K tomu slouží podmíněná přepisovací pravidla. Podmíněné přepisovací pravidlo je rozšířené běžné přepisovací pravidlo o podmínku. Přepisování pak probíhá tak, že se uvedená podmínka vyhodnotí, a když je pravdivá, přepisovací pravidlo se použije. Pokud pravdivá není, hledá se další vhodné přepisovací pravidlo. Pořadí ověřování přepisovacích pravidel musí být dáno (aby se zachoval determinismus), např. od dříve uvedených pravidel k později uvedeným. Pokud symbol není přepsán žádným přepisovacím pravidlem, platí pro něj identita jako výchozí přepisovací pravidlo (je tedy zkopírován do další iterace).

25. iterace L-systému modelující list růže

Ukázkou podmíněného přepisování je list růže ze str. 126.[4]

Nejjednoduššího stochastismu se dosáhne randomizací („znáhodnění“) změny úhlu otočení a délky kroku. Kvůli tomu není nutné zasahovat do přepisovacího systému, ten zůstane nezměněn. Změna se projeví až při interpretaci symbolů. Jako příklad je uveden Pythagorův strom s randomizací úhlu a délky kroku o ±30%.

Výsledek vykreslení bude díky stochastismu pokaždé trochu jiný, na následujícím obrázku je 9 interpretací 6. generace, uprostřed je L-systém bez randomizace.

Pokročilejšího stochastismu se u L-systémů dosahuje náhodným výběrem mezi více přepisovacími pravidly. Každé takové pravidlo má určitou váhu, která určuje, s jakou pravděpodobností se vybere. Tato váha je uvedena u každého pravidla, které je náhodné. Pravděpodobnost vybrání konkrétního pravidla je určena hodnotou váhy onoho pravidla vydělené součtem vah všech pravidel, které připadají v úvahu pro přepsání konkrétního symbolu. Pokud váhy nejsou uvedeny, ale jedná se o stochastický L-systém, všechna pravidla mají váhu (a pravděpodobnost vybrání) stejnou.

Randomizovaný Pythagorův strom 2 (L-systém)
gramatika
abeceda:	F L + -
axiom:	F(50)
přepis. pravidla:	F(t) ${\displaystyle {\xrightarrow {_{2}}}}$ L(t) [+F(t / √2)] -F(t / √2)
	F(t) ${\displaystyle {\xrightarrow {_{1}}}}$ L(t) +F(t / √2)
	F(t) ${\displaystyle {\xrightarrow {_{1}}}}$ L(t) -F(t / √2)
interpretace
úhel otočení:	45°
randomiz. úhlu:	30%
randomiz. kroku:	30%

pozn.: pravděpodobnostní váhy jsou uvedeny nad šipkami u přepisovacích pravidel

8 různých výsledků je na obrázku níže (9. uprostřed bez stochastismu).

Označení 1L-systém se používá pro kontextový L-systém, který má kontextová přepisovací pravidla buď s levým nebo s pravým kontextem (nikoli s oběma najednou). Tyto L-systémy mohou obsahovat i bezkontextová pravidla. Při vyhodnocování mají však přednost kontextová.

Výsledek bude po iteracích vypadat následovně:

i = 0 : Aaaaaa

i = 1 : aAaaaa

i = 2 : aaAaaa

i = 3 : aaaAaa

i = 4 : aaaaAa atd.

Této technice se říká propagace signálu a používá se pro modelování pokročilých modelů rostlin.[4]

2L-systémy obsahují i kontextová přepisovací pravidla, která mají oba kontexty. Krom nich mohou obsahovat vše co 1L-systémy.

Fractint[14] je freeware generátor fraktálů pro DOS (Windows) a Linux. Program podporuje pouze základní typ L-systémů (tj. D0L-systémy). Výstup programu je možné uložit do souborů BMP a GIF

Inkscape je open source vektorový grafický editor používající SVG jako svůj nativní formát. Obsahuje skript pro generování základního typu L-systémů (tj. D0L-systémů). Jeho výhoda je však ta, že výsledek je vektorový a dá se s ním v programu dále pracovat.

Blender je open-source program pro modelování a vykreslování 3D počítačové grafiky, do kterého se dá stáhnout plugin[15], který generuje rostliny pomocí L-systémů. Odlišností tohoto pluginu od ostatních programů je ta, že grafik nezadává předpis L-systému, ale pouze vizuálně nastavuje parametry výsledného modelu rostliny.