Gaussovo kvadraturní pravidlo

Kvadraturní vzorec se nazývá Gaussův, má-li algebraický řád rovný ${\displaystyle \displaystyle 2n+1}$, tj. pro chybu kvadraturní formule platí ${\displaystyle \displaystyle E(x^{k})=0}$ pro ${\displaystyle k=1,\ldots ,2n+1}$ a ${\displaystyle E(x^{2n+2})\neq 0}$.

Potřebujeme nalézt koeficienty ${\displaystyle r_{0},\ldots ,r_{n}}$ a uzly ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$. Protože má Gaussův vzorec algebraický řád roven ${\displaystyle \displaystyle 2n+1}$, dostáváme soustavu ${\displaystyle \displaystyle 2n+2}$ rovnic o ${\displaystyle \displaystyle 2n+2}$ neznámých,
${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}r_{i}x_{i}^{k}=\int _{a}^{b}x^{k}dx,k=0,\ldots ,2n+1}$.
Tyto neznámé lze však získat mnohem snadněji.
Pro danou funkci sestrojíme Hermitův interpolační polynom ${\displaystyle \displaystyle H_{2n+1}}$, který splňuje podmínky ${\displaystyle \displaystyle H_{2n+1}(x_{i})=f(x_{i})}$ a ${\displaystyle H_{2n+1}^{(j)}=f^{(j)}(x_{i}),i=0,\ldots n}$, a tento polynom zintegrujeme. Dostáváme vztahy
${\displaystyle \int _{a}^{b}H_{2n+1}(x)dx=\sum _{i=0}^{n}r_{i}f(x_{i})+\sum _{i=0}^{n}q_{i}f'(x_{i})}$, kde
${\displaystyle r_{i}=\sum _{i=0}^{n}\int _{a}^{b}(1-2(x-x_{i})l'_{i}(x_{i}))l_{i}^{2}(x)}$ a ${\displaystyle q_{i}=\sum _{i=0}^{n}\int _{a}^{b}(x-x_{i})l_{i}^{2}}$.
Nyní uvažujme kvadraturní vzorec ${\displaystyle K(f)=\sum _{i=0}^{n}r_{i}f(x_{i})}$. Platí totiž ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{i=0}^{n}r_{i}f(x_{i})+E(f)}$.

Vzorec je Gaussův, právě tehdy, když pro uzly ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ platí ${\displaystyle \displaystyle \int _{a}^{b}\omega _{n+1}(x)p(x)dx=0}$,
kde ${\displaystyle \omega _{n+1}(x)=\displaystyle \prod _{i=0}^{n}(x-x_{j})}$, pro každý polynom ${\displaystyle \displaystyle p}$ stupně nejvýše ${\displaystyle \displaystyle n}$. Jinými slovy, je třeba, aby polynom ${\displaystyle \displaystyle \omega _{n+1}(x)}$ byl ortogonální ke všem polynomům stupně nejvýše ${\displaystyle \displaystyle n}$. Toto skutečně platí, máme totiž ${\displaystyle q_{i}=\displaystyle \int _{a}^{b}(x-x_{i})l_{i}^{2}(x)dx=\int _{a}^{b}(x-x_{i}){\frac {\prod _{\stackrel {j=0}{j\neq i}}^{n}(x-x_{j})^{2}}{\prod _{\stackrel {j=0}{j\neq i}}^{n}(x_{i}-x_{j})^{2}}}dx=\int _{a}^{b}\omega _{n+1}(x){\frac {\prod _{\stackrel {j=0}{j\neq i}}^{n}(x-x_{j})}{\prod _{\stackrel {j=0}{j\neq i}}^{n}(x_{i}-x_{j})^{2}}}dx=0}$ dle předpokladu. Zbývá nalézt uzly ${\displaystyle x_{0},\ldots x_{n}}$. Tyto uzly splňují podmínku ${\displaystyle x_{i}={\frac {1}{2}}(t_{i}(b-a)+a+b),i=0,\ldots ,n}$, kde ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n}}$ jsou kořeny Legendrova polynomu ${\displaystyle \displaystyle P_{n+1}}$, což jsou ortogonální polynomy s vahou 1 v intervalu ${\displaystyle \left[-1,1\right]}$, určené např. rekurencí ${\displaystyle P_{m+1}(x)-{\frac {2m+1}{m+1}}xP_{m}(x)+{\frac {m}{m+1}}P_{m-1}(x)=0,P_{0}(x)=1,P_{1}(x)=x,m=1,\ldots }$.