Křivost křivky

Křivost křivky je převrácená hodnota poloměru křivosti křivky. Má význam v diferenciální geometrii či při výpočtu průhybů nosníků. Lze také říci, že v daném bodě křivky $f$ se její křivost nejlépe přimyká kružnici, jejíž poloměr se nazývá poloměr křivosti v tomto bodě. Křivost určuje míru vychýlení křivky od její tečny v daném bodě.

Vztahy pro výpočet křivosti křivky

Je-li známá rovnice rovinné křivky $f=f(x)$ v kartézském souřadném systému, pak křivost křivky $\kappa$ je převrácená hodnota poloměru křivosti křivky r . Platí

$\kappa ={\frac {1}{r}}={\frac {d^{2}f \over dx^{2}}{[1+({df \over dx})^{2}]^{3/2}}}={\frac {y''}{[1+y'^{2}]^{3/2}}}$ .

V některých případech je vhodné výše uvedený nelineární vztah zjednodušit, potom platí

$\kappa ={\frac {1}{r}}\approx {\frac {d^{2}f \over dx^{2}}{1+{\frac {3}{2}}{\bigl (}{df \over dx}{\bigr )}^{2}}}\approx {d^{2}f \over dx^{2}}$ .

Výše uvedený vztah je používaný v základní mechanice nosníků.

Je-li rovnice křivky daná parametricky $x=p(t),y=q(t)$ v kartézském souřadném systému

$\kappa ={\frac {|y''x'-x''y'|}{({x'}^{2}+{y'}^{2})^{3/2}}}.$

Další informace

Inflexní bod křivky má nulovou křivost.

Poloměr křivosti křivky je také poloměrem její oskulační kružnice.

Kružnice je křivka s konstantním poloměrem křivosti, který je v absolutní hodnotě roven poloměru kružnice. Přímka, polopřímka a úsečka mají nekonečný poloměr křivosti (tj. přímku si lze představit jako kružnici o nekonečném poloměru). Kružnice, přímka, polopřímka a úsečka jsou jediné rovinné křivky s konstantní křivostí, viz řešené příklady.

V obecném případě, u prostorových křivek se používají pro výpočet křivosti Frenetovy vzorce.

Křivost má význam v diferenciální geometrii či při výpočtu průhybů a napětí u nosníků, desek a skořepin v mechanice, při řešení kinematiky a dynamiky pohybu, v optice (poloměr křivosti optických čoček a zrcadel) aj.

Blíže např. [1], [2] a elektronická učebnice diferenciální geometrie křivek a ploch .

Příklady výpočtu

Křivost přímky, polopřímky či úsečky (nejjednodušší příklad)

Přímka, polopřímka či úsečka je daná rovnicí $f=f(x)=kx+q$ , kde $k,q$ jsou konstanty.

Pro derivace $f$ platí ${df \over dx}=k$ a ${df^{2} \over dx^{2}}=0$ .

Pro křivost přímky pak platí $\kappa ={\frac {d^{2}f \over dx^{2}}{[1+({df \over dx})^{2}]^{3/2}}}={\frac {0}{[1+(k)^{2}]^{3/2}}}=0$ .

Křivost kružnice

kružnice je daná např. rovnicí $f=f(x)=\pm {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ , kde $r$ je poloměr kružnice.

Pro derivace $f$ , pak platí ${df \over dx}={-r \over {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$ a ${df^{2} \over dx^{2}}={-r^{2} \over {\Bigl (}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}{\Bigr )}^{3}}$ .

Pro křivost dané kružnice pak platí $\kappa ={\frac {d^{2}f \over dx^{2}}{[1+({df \over dx})^{2}]^{3/2}}}={\frac {-r^{2} \over {\Bigl (}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}{\Bigr )}^{3}}{[1+({-r \over {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}})^{2}]^{3/2}}}=-1/r$ .

Výpočet křivosti v software Mathcad

Na následujícím obrázku je provedeno odvození vztahu pro křivost kvadratické rovnice (f(x) = ax²+bx+c) v sw Mathcad (tzv. symbolický výpočet).

Odvození vztahu pro křivost v sw Mathcad (kvadratická rovnice)

Reference

FRYDRÝŠEK, Karel. Nosníky a rámy na pružném podkladu 1. 1. vyd. Ostrava, Česko: VŠB-TU Ostrava, Fakulta strojní, 2006. 463 s. ISBN 80-248-1244-4.
FRYDRÝŠEK, Karel; TVRDÁ, Katarína; JANČO, Roland; ET AL. Handbook of Structures on Elastic Foundation. 1st. vyd. Ostrava, Czech Republic: VSB - Technical University of Ostrava, 2013. ISBN 978-80-248-3238-8. S. 1-1691. (anglicky)

Externí odkazy

Elektronická učebnice diferenciální geometrie křivek a ploch
Nosník na pružném podkladu
Poloměr křivosti

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[:0-1] FRYDRÝŠEK, Karel. Nosníky a rámy na pružném podkladu 1. 1. vyd. Ostrava, Česko: VŠB-TU Ostrava, Fakulta strojní, 2006. 463 s. ISBN 80-248-1244-4.

[:1-2] FRYDRÝŠEK, Karel; TVRDÁ, Katarína; JANČO, Roland; ET AL. Handbook of Structures on Elastic Foundation. 1st. vyd. Ostrava, Czech Republic: VSB - Technical University of Ostrava, 2013. ISBN 978-80-248-3238-8. S. 1-1691. (anglicky)