Korelace

Korelace (z lat. souvztažnost) znamená vzájemný vztah mezi dvěma procesy nebo veličinami. Pokud se jedna z nich mění, mění se korelativně i druhá a naopak. Pokud se mezi dvěma procesy ukáže korelace, je pravděpodobné, že na sobě závisejí, nelze z toho však ještě usoudit, že by jeden z nich musel být příčinou a druhý následkem. To samotná korelace nedovoluje rozhodnout, protože korelace neimplikuje kauzalitu.

V určitějším slova smyslu se pojem korelace užívá ve statistice, kde znamená vzájemný lineární vztah mezi znaky či veličinami x a y. Míru korelace pak vyjadřuje korelační koeficient, který může nabývat hodnot od −1 až po +1.

Korelace ve statistice

Na obrázku je několik příkladů grafického zobrazení dat a koeficienty jejich korelace s funkcí y = x

Vztah mezi znaky či veličinami x a y může být kladný, pokud (přibližně) platí y = kx, nebo záporný (y = -kx). Hodnota korelačního koeficientu −1 značí zcela nepřímou závislost (antikorelaci), tedy čím více se zvětší hodnoty v první skupině znaků, tím více se zmenší hodnoty v druhé skupině znaků, např. vztah mezi uplynulým a zbývajícím časem. Hodnota korelačního koeficientu +1 značí zcela přímou závislost, např. vztah mezi rychlostí bicyklu a frekvencí otáček kola bicyklu. Pokud je korelační koeficient roven 0 (nekorelovanost), pak mezi znaky není žádná statisticky zjistitelná lineární závislost. Je dobré si uvědomit, že i při nulovém korelačním koeficientu na sobě veličiny mohou záviset, pouze tento vztah nelze vyjádřit lineární funkcí, a to ani přibližně.

Vzorec Pearsonova korelačního koeficientu

Pearsonův korelační koeficient je definován, pokud jsou druhé mocniny náhodných veličin X a Y $E(X^{2}),E(Y^{2})$ konečné. Je založen na myšlence, že kovarianci převedeme na bezrozměrné číslo tak, že ji podělíme směrodatnými odchylkami obou proměnných:

\rho _{X,Y}={\mathrm {cov} (X,Y) \over \sigma _{X}\sigma _{Y}}={E((X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})) \over \sigma _{X}\sigma _{Y}},

Protože $\mu _{X}=E(X)$ , $\sigma _{X}^{2}=E(X^{2})-E^{2}(X)$ a obdobně pro Y, lze výše uvedený vzorec upravit do přehlednějšího výpočetního tvaru:

\rho _{X,Y}={\frac {E(XY)-E(X)E(Y)}{{\sqrt {E(X^{2})-E^{2}(X)}}~{\sqrt {E(Y^{2})-E^{2}(Y)}}}}

Koeficient korelace nabývá hodnot z intervalu $\langle -1,1\rangle$ . Při nezávislosti veličin $X$ a $Y$ je koeficient korelace roven 0. Nulový korelační koeficient však neznamená, že jsou veličiny $X$ a $Y$ nezávislé. Nulový korelační koeficient má například dvojice náhodných veličin $X$ a $Y=X^{2}$ .

Tento koeficient jako první odvodil anglický psycholog a antropolog Sir Francis Galton.

Existují nicméně i jiné koeficienty korelace, například Spearmanovo rhó či Kendallovo tau pro ordinální (pořadová) data.

Korelace v teorii signálů

Zkrácený výraz pro korelační funkci.

Pro spojité signály $f(t)$ a $g(t)$ :

(f\star g)(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\int _{-\infty }^{\infty }f^{*}(\tau )\cdot g(t+\tau )\,{\rm {d}}\tau

Pro diskrétní signály $f_{k}$ a $g_{k}$ :

(f\star g)_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum _{i=-\infty }^{\infty }f_{i}^{*}\ g_{k+i}

U komplexních signálů $f^{*}$ představuje komplexně sdružené číslo k $f$ .

Velmi se podobá konvoluci. Rozdíl je hlavně v časovém překlopení druhé funkce $g$ .

Jako autokorelace se rozumí korelace $(f\star f)$ . Lze tak určit tzv. soběpodobnost signálu, tedy zda se např. signál v určitých periodách neopakuje.

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu Korelace na Wikimedia Commons

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.