Monoid

Monoid je grupoid (M; ·), tedy množina M s binární operací „·“ : M × M → M, a těmito axiomy:

• Asociativita: ∀ x, y, z ∈ M (x·y)·z = x·(y·z)
• Neutrální prvek: (∃e∈ M) (∀x∈ M) x·e = e·x = x.

Někdy se uvádí i následující axiom plynoucí však z definice binární operace.

• ∀ (x, y ∈ M) x·y ∈ M

Monoid tak je vlastně pologrupa s neutrálním prvkem.

Pokud bychom doplnili tyto axiomy o existenci inverzních prvků, byla by tato struktura grupou.

Monoid, jehož operace je také komutativní se nazývá komutativní monoid, nebo Abelovský monoid.

• Přirozená čísla tvoří komutativní monoid k operaci násobení.
• Množina všech matic n×n tvoří monoid vůči sčítání i násobení

O dvou monoidech (M; ·) a (M'; ∗) řekneme, že jsou homomorfní jestliže existuje zobrazení (homomorfismus) f: M → M' takové, že:

• ∀x,y∈M f(x·y)=f(x)∗f(y).
• f(e)=e ', kde e je neutrální prvek grupoidu (M; ·) a e ' neutrální prvek grupoidu (M'; ∗).

Je-li zobrazení mezi dvěma monoidy bijektivní a je to homomorfismus, říkáme, že tyto dva monoidy jsou izomorfní.

V teorii kategorií je monoid objekt v monoidální kategorii se dvěma morfismy (v kategorii funktorů přirozenými transformacemi) ${\displaystyle (M,\mu ,\eta )}$ splňující ${\displaystyle \mu \circ (\eta \otimes 1)=\lambda }$, ${\displaystyle \mu \circ (1\otimes \eta )=\rho }$ a ${\displaystyle \mu \circ (\mu \otimes 1)=\mu \circ (1\otimes \mu )\circ \alpha }$. Morfismus ${\displaystyle f:M\rightarrow M'}$ je morfismem mezi monoidy, pokud ${\displaystyle \eta '=f\circ \eta }$ a ${\displaystyle f\circ \mu =\mu '\circ (f\otimes f)}$. Monoidy v kategorii Set známé z algebry jsou příkladem kategorických monoidů, neboť Set s operací ${\displaystyle \times }$ a terminálním prvkem tvoří monoidální kategorii.