Kofinál

Kofinál či také kofinalita limitního ordinálu je matematický pojem z oblasti teorie množin (ordinální aritmetiky). Je to jedna ze základních charakteristik limitních ordinálů, vyjadřuje „míru přístupnosti horních pater ordinálu“.

Definice

Pojem kofinality má smysl definovat jen pro limitní ordinální čísla. Dále tedy budou označovat libovolná ordinální čísla a budou označovat vždy limitní ordinály.

Kofinální podmnožina

Řekneme, že množina je kofinální podmnožinou , existuje-li pro každé takové , že . Říkáme také, že A je kofinální s .

Například

  • množina je kofinální podmnožina ordinálu .
  • množina je kofinální podmnožina ordinálu .
  • množina je kofinální podmnožina ordinálu pro každé .

Kofinál a kofinalita

Kofinálem limitního ordinálu rozumíme nejmenší ordinál takový, že existuje množina kofinální s , jejímž ordinálním typem je (tj. A je -izomorfní s ). Kofinál limitního ordinálu se značí .

Kofinalitou rozumíme mohutnost (kardinalitu) . Lze ukázat, že pro každé je kardinální číslo, a tedy pojmy kofinál a kofinalita splývají.

Například

  • pro každé

Regulární a singulární ordinál

Limitní ordinál, který je roven své kofinalitě se nazývá regulární. V opačném případě (je-li kofinalita menší) se nazývá singulární.

Vlastnosti

  • Pro každý limitní ordinál platí
  • Pro každý limitní ordinál platí .
  • Pro všechna je kardinální číslo.

Dále za předpokladu axiomu výběru:

  • Pro každý nekonečný kardinál platí .

Související články

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.