Kartézská mocnina

Mezi výše uvedenými definicemi je přece jen nepatrný rozdíl. Ukážeme si to na následujícím příkladu:

• podle první definice je

${\displaystyle 3^{2}=\{0,1,2\}\times \{0,1,2\}=\{[0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1],[1,2],[2,0],[2,1],[2,2]\}\,\!}$

• podle druhé definice je

${\displaystyle 3^{2}=\{0,1,2\}^{\{0,1\}}=\{\{[0,0],[1,0]\},\{[0,0],[1,1]\},\{[0,0],[1,2]\},\{[0,1],[1,0]\},\ldots ,\{[0,2],[1,2]\}\}\,\!}$

Obě množiny se sice nepatrně liší způsobem, jakým je realizována posloupnost dvou prvků (v prvním případě jako uspořádaná dvojice, ve druhém jako zobrazení z dvouprvkové množiny), ale strukturu mají shodnou – jsou izomorfní.

• Běžná analytická geometrie pracuje obvykle v afinní rovině nebo v afinním prostoru – což není nic jiného, než množiny ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\,\!}$ a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\,\!}$ ( jako ${\displaystyle \mathbb {R} \,\!}$ je zde označována množina všech reálných čísel).
• Veškeré úvahy teorie množin týkající se binárních relací (například o ekvivalencích nebo o uspořádáních na dané množině ${\displaystyle X\,\!}$) se odehrávají v množině uspořádaných dvojic z dané množiny, tj. v kartézské mocnině ${\displaystyle X^{2}\,\!}$.
• Posloupnosti na množině reálných čísel nejsou nic jiného, než prvky množiny ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }\,\!}$ .
• Obecná (druhá) definice se používá v kardinální aritmetice k definici kardinální mocniny.
• Každá algebraická struktura je obvykle definována jako nějaká množina ${\displaystyle X\,\!}$, na které jsou zavedeny nějaké (nejčastěji binární) operace. Tyto operace nejsou nic jiného, než zobrazení ${\displaystyle X^{2}\,\!}$ do ${\displaystyle X\,\!}$ (obecněji ${\displaystyle X^{n}\,\!}$ do ${\displaystyle X\,\!}$, kde ${\displaystyle n\,\!}$ je arita konkrétní operace).

• Kartézský součin
• Kardinální aritmetika