Nosník na pružném podkladu

Běžné případy z praxe lze značně zjednodušit zavedením vhodného modelu podkladu a pak je možné v některých případech získat analytické řešení. Odezva v podloží se pak nemusí vůbec řešit.

Jestliže je spojitá reakce v podloží q_R /Nm⁻¹/ přímo úměrná průhybu v /m/ nosníku nebo přímo úměrná derivacím průhybu a podloží se trvale nedeformuje, pak je nosník uložen na pružném podkladu. V opačném případě je podklad plně nebo částečně poddajný (nepružný).

• Winklerův pružný podklad (jednoparametrický model)

Pružný podklad tzv. Winklerův (poprvé publikovaný v Praze v r. 1867[6]), je nejstarším, nejběžnějším a nejjednodušším modelem podloží. Případné možné plastické deformace podloží se neuvažují. Winklerův model předpokládá, že spojitá reakce podloží q_R je přímo úměrná průhybu v v daném místě. Platí tedy q_R=k*v), kde k /Nm⁻²/) je konstanta úměrnosti (koeficient podloží, koeficient ložnosti). Konstantu k lze spolehlivě stanovit jen z měření, případně lze použít vztah k=K*B, kde B /m/ je příčná šířka stykové plochy nosníku s podložím a K /Nm⁻³/ je modul stlačitelnosti podloží. Modul stlačitelnosti podloží je obecně proměnlivý a náhodný parametr závislý na typu podloží a jeho kvalitě či stupni degradace, ročním období, vlhkosti a teplotě. Nicméně, orientačně platí následující tabulka charakteristických hodnot:[2] a [5]

• Víceparametrické modely

Víceparametrické modely pružného podkladu vyjadřují spojitou reakci podloží q_R jako přímo úměrnou průhybu v a také přímo úměrnou derivacím průhybu (tj. např. dv/dx a vyšší derivace). Nicméně, experimentální stanovení podoby těchto modelů je náročnější. Zde stojí za zmínku uvést například modely autorů Pasternak, Hetényi, Filonenko-Borodich, Kerr, Reissner a Vlasov-Leontiev.[2], [7], [8] a [5]

Podobně jako lineární modely mohou být jednoparametrické či víceparametrické. Obvykle bývají stanoveny nelineární regresí výsledku experimentů (proložení závislostí zatížení na průhybu vhodnou aproximační funkcí), tj. q_R=f(v, dv/dx, zatížení, ...).

Dalším příkladem nelineárního modelu je unilaterální (jednosměrný) Winklerův model, který umožňuje i odlepení od podloží, viz např. https://www.engmech.cz/improc/2017/0670.pdf.

Dle referencí [1],[2] a [5] je provedeno odvození za následujících předpokladů

• Nosník vyhovuje podmínce rovinného ohybu.
• Deformace jsou malé a materiál nosníku je homogenní a izotropní a také vyhovuje Hookeovu zákonu.
• Vychází se z rovnováhy sil a momentů působících na element nosníku infinitezimální délky dx /m/, viz následující obrázek.

• 
  Schéma nezatíženého (a) a zatíženého stavu (b) úseku nosníku délky dx, který je uložen na pružném podkladu. Obrázek znázorňuje také některá přijatá zjednodušení (c). Převzato z [2] a [5].

Vlivem zátěžných účinků se rovný úsek nosníku dx zatlačuje do podloží a také ohýbá. Tato skutečnost se projeví změnou poloměru křivosti r /m/, indukováním vnitřních statických účinků (tj. normálové síly N /N/, posouvající síly T /N/ a ohybového momentu M_o /Nm/) a samozřejmě také spojitou reakcí v podloží q_R. Z podmínek rovnováhy sil ve svislém směru a rovnováhy momentů k bodu 2*, pak vyplývají Schwedlerovy věty (nazývané také jako Schwedler-Žuravského věty), které je nutno dosadit do diferenciální rovnice ohybu. Podle [1],[2] a [5] a následujícího obrázku pak lze odvodit diferenciální rovnici ohybu nosníku na pružném podkladu, kde h /m/ je výška nosníku, q /Nm⁻¹/ je spojité zatížení, t₂-t₁ /K/ je rozdíl teploty mezi dolní a horní částí nosníku, α_t /K⁻¹/ je součinitel teplotní délkové roztažnosti, E /Pa/ je modul pružnosti v tahu, G /Pa/ je modul pružnosti ve smyku, β /1/ je součinitel rozložení smykového napětí po průřezu nosníku, J_ZT /m⁴/ je hlavní kvadratický moment průřezu nosníku počítaný k ose Z (tj. k ose kolmé na rovinu XY) a S /m²/  je plocha příčného průřezu nosníku. Blíže[2] a [5].

• 
  Schéma odvození obecného případu diferenciální rovnice nosníku, který je uložený na obecném typu podkladu.Převzato z [2] a [5].

Nejjednodušším tvarem rovnice ohybu nosníku na pružném podkladu je diferenciální rovnice pro Winklerův pružný podklad. Blíže.[1], [2] a [5].

V češtině:

• FRYDRÝŠEK, K.: Nosníky a rámy na pružném podkladu 1, monografie, VŠB-TU Ostrava, Fakulta strojní, Ostrava, Česko, 2006, pp.463, ISBN 80-248-1244-4.
• FRYDRÝŠEK, K., JANČO, R. et al: Nosníky a rámy na pružném podkladu 2, monografie, VŠB-TU Ostrava, Fakulta strojní, Ostrava, Česko, 2008, pp.516, ISBN 978-80-248-1743-9.
• FRYDRÝŠEK, K., NIKODÝM, M. et al: Beams and Frames on Elastic Foundation 3 (Nosníky a rámy na pružném podkladu 3), monografie, VŠB-TU Ostrava, Fakulta strojní, Ostrava, Česko, 2013, pp.611, ISBN 978-80-248-2257-0.
• FRYDRÝŠEK, K., MARVALOVÁ, B., JÁGROVÁ, B.: Vybrané kapitoly z pružnosti a plasticity 1, skriptum, VŠB-TU Ostrava, Fakulta strojní, Ostrava, Česko, 2008, pp.127, ISBN 978-80-248-1855-9.

V angličtině:

• HETÉNYI, M.: Beams on Elastic Foundation, Ann Arbor, University of Michigan Studies, USA, 1946.
• MELERSKI, E., S.: Design Analysis of Beams, Circular Plates and Cylindrical Tanks on Elastic Foundations, 2nd edition, Taylor & Francis Group, London, UK, 2006, pp.284, ISBN 978-0-415-38350-9.
• TSUDIK, E., Analysis of Beams and Frames on Elastic Foundation, Trafford Publishing, USA, pp.248, ISBN 1-4120-7950-0.
• JONES, G., JONES, M.: Analysis of Beams on Elastic Foundations: Using Finite Difference Theory, Thomas Telford Publishing, London, 1997, UK, pp.164, ISBN 978-0727725752.
• FRYDRÝŠEK, K., NIKODÝM, M. et al: Beams and Frames on Elastic Foundation 3 (Nosníky a rámy na pružném podkladu 3), monografie, VŠB-TU Ostrava, Fakulta strojní, Ostrava, Česko, 2013, pp.611, ISBN 978-80-248-2257-0.

V němčině (historická)

• WINKLER, E.: Die Lehre von der Elastiziat und Festigkeit, H. Dominicus, Praha, 1867.