Jacobiho matice (třídiagonální)

Reálnou matici

${\displaystyle J_{k}=\left[{\begin{array}{ccccc}\alpha _{1}&\beta _{2}&&&\\\beta _{2}&\alpha _{2}&\beta _{3}&&\\&\beta _{3}&\ddots &\ddots &\\&&\ddots &\ddots &\beta _{k}\\&&&\beta _{k}&\alpha _{k}\end{array}}\right],\qquad \beta _{i}>0,\quad i=2,\ldots ,k,}$

nazýváme Jacobiho maticí.

Každou reálnou symetrickou matici ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{k\times k}}$, ${\displaystyle A=A^{T}}$ lze převést ortogonální transformací na Jacobiho matici. Tedy existuje ortogonální matice ${\displaystyle G\in \mathbb {R} ^{k\times k}}$, ${\displaystyle G^{-1}=G^{T}}$ tak, že

${\displaystyle GAG^{T}=J,}$

kde ${\displaystyle J}$ je Jacobiho matice.

Každou hermitovskou matici ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{k\times k}}$, ${\displaystyle A=A^{H}}$ lze převést unitární transformací na Jacobiho matici. Tedy existuje unitární matice ${\displaystyle G\in \mathbb {C} ^{k\times k}}$, ${\displaystyle G^{-1}=G^{H}}$ tak, že

${\displaystyle GAG^{H}=J,}$

kde ${\displaystyle J}$ je (reálná) Jacobiho matice.

Jacobiho matice mají řadu specifických vlastností.

Vlastní čísla Jacobiho matic jsou jednoduchá (mají násobnost jedna). Stačí si uvědomit, že matice ${\displaystyle J_{k}-\lambda I}$ má, pro libovolné číslo ${\displaystyle \lambda }$, nenulový poddeterminant

${\displaystyle \det \left(\left[{\begin{array}{cccc}\beta _{2}&\alpha _{2}-\lambda &\beta _{3}&\\&\beta _{3}&\ddots &\ddots \\&&\ddots &\ddots \\&&&\beta _{k}\end{array}}\right]\right)}$

řádu ${\displaystyle k-1}$. Tedy ${\displaystyle \mathrm {rank} (J_{k}-\lambda I)\geq k-1}$. Protože matice je symetrická odpovídá její hodnost počtu nenulových vlastních čísel (včetně násobností). Je-li tedy ${\displaystyle \lambda }$ vlastní číslo, musí mít násobnost jedna. Protože matice je symetrická, vlastní čísla jsou navíc reálná a můžeme je seřadit

${\displaystyle \lambda _{1}(J_{k})<\lambda _{2}(J_{k})<\ldots <\lambda _{k}(J_{k}).}$

Vlastní čísla dvou po sobě jdoucích Jacobiho matic ${\displaystyle J_{k-1}}$, ${\displaystyle J_{k}}$ se striktně prokládají

${\displaystyle \lambda _{1}(J_{k})<\lambda _{1}(J_{k-1})<\lambda _{2}(J_{k})<\lambda _{2}(J_{k-1})<\ldots <\lambda _{k-1}(J_{k-1})<\lambda _{k}(J_{k}).}$

Tedy charakteristické polynomy dvou po sobě jdoucích Jacobiho matic nemají stejný kořen (což lze znadno dokázat sporem; rozvojem determinantu ${\displaystyle \det(J_{k}-\lambda I)}$ podle posledního řádku a indukcí podle rozměru matice). Z toho dále vyplývá, že dvě po sobě jdoucí Jacobiho matice nemohou být singulární.

Je-li ${\displaystyle (\lambda ,v)}$ vlastní číslo a vlastní vektor dané Jacobiho matice ${\displaystyle J_{k}}$,

${\displaystyle v=[v_{1},v_{2},v_{3},\ldots ,v_{k}]^{T},\qquad \|v\|\neq 0,}$

pak

• první prvek vlastního vektoru je nenulový, ${\displaystyle v_{1}\neq 0}$,
• poslední prvek vlastního vektoru je nenulový, ${\displaystyle v_{k}\neq 0}$,
• libovolný dvouprvkový podvektor ${\displaystyle [v_{\ell },v_{\ell +1}]}$, ${\displaystyle \ell =1,\ldots ,k-1}$, je nenulový.

Všechna tři tvrzení lze opět snadno dokázat sporem, prostým porovnáním prvků vektorů na obou stranách rovnosti

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}\alpha _{1}&\beta _{2}&&&\\\beta _{2}&\alpha _{2}&\beta _{3}&&\\&\beta _{3}&\ddots &\ddots &\\&&\ddots &\ddots &\beta _{k}\\&&&\beta _{k}&\alpha _{k}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\vdots \\v_{k}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\vdots \\v_{k}\end{array}}\right]\lambda .}$

Pokud např. předpokládáme ${\displaystyle v_{1}=0}$ pak z porovnání prvních prvků

${\displaystyle \alpha _{1}v_{1}+\beta _{2}v_{2}=v_{1}\lambda }$

plyne ${\displaystyle v_{2}=0}$ (neboť ${\displaystyle \beta _{2}>0}$). Indukcí dostaneme ${\displaystyle v_{1}=v_{2}=\ldots =v_{k}=0}$ což je ve sporu s ${\displaystyle \|v\|\neq 0}$.

Jacobiho matice hrají klíčovou v řadě teoretických i praktických aplikací[1][2][3][4][5]

• řetězově zlomky,
• ortogonální polynomy,
• Gaussova kvadratura,
• Lanczosův algoritmus,
• (částečný) problém vlastních čísel (symetrických matic),
• metoda sdružených gradientů.