Identická relace
Identická relace (někdy také prostě identita) na množině , označovaná obvykle , je binární relace, pro kterou platí:
Zjednodušeně řečeno: v identické relaci je každý prvek podkladové množiny obsažen pouze jednou - a to sám se sebou.
Příklady a vlastnosti
- Relace = je identita na přirozených, celých, racionálních, reálných i komplexních číslech.
- Relace < není identita na přirozených číslech, protože 1<2 - v relaci < je tedy obsažena „neidentická“ dvojice .
Obecněji by se dalo říct, že relace = je obvykle zaváděna jako identita ve všech matematických strukturách, nejen výše uvedených číselných oborech (vizte například teorie množin, algebraické struktury).
Identita jako nejmenší ekvivalence
Identita je ekvivalence na množině - je reflexivní, symetrická i tranzitivní. Navíc pokud na množině všech ekvivalencí na definujeme uspořádání podle zjemnění rozkladu, pak je nejmenší prvek množiny všech ekvivalencí na vzhledem k tomuto uspořádání (identitu již nelze dále zjemnit, protože každá její rozkladová množina má pouze jeden prvek).
Identita jako nejmenší neostré uspořádání
Identita je je také neostré uspořádání množiny . Není to nijak zajímavé uspořádání - žádné dva různé prvky nejsou porovnatelné. Jedná se ale opět o nejmenší prvek - tentokrát množiny všech neostrých uspořádání množiny .