Eulerova–Lagrangeova rovnice

Úkolem je najít extrém následujícího funkcionálu J při splnění uvedených vazebních (okrajových) podmínek.

${\displaystyle J=\int _{0}^{1}\left[y'(x)^{2}+12xy(x)\right]\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle y(0)=0}$

${\displaystyle y(1)=1}$

V podstatě hledáme takovou trajektorii (množinu bodů ${\displaystyle [x;y(x)]}$) z bodu [0;0] do bodu [1;1], aby daný určitý integrál, který závisí na této křivce, byl minimální. Lze si také představit, že funkce ${\displaystyle F(x,y,y')=y'^{2}+12xy}$ představuje „penalizaci“ v závislosti na poloze a směru, přičemž úkolem je dostat se do cíle „co nejlevněji“.

Dosazením funkce F do Eulerovy-Lagrangeovy rovnice odvodíme následující obyčejnou diferenciální rovnici (lineární nehomogenní 2. řádu).

${\displaystyle 12x-2y''=0}$

Získanou rovnici můžeme snadno vyřešit dvojnásobnou integrací:

${\displaystyle y''=6x}$,

${\displaystyle y'=3x^{2}+c_{1}}$,

${\displaystyle y=x^{3}+c_{1}x+c_{2}}$.

Hodnotu integračních konstant c₁ a c₂ vypočteme z okrajových podmínek ${\displaystyle y(0)=0}$ a ${\displaystyle y(1)=1}$ a získáme tak hledanou funkci ${\displaystyle y(x)}$.

${\displaystyle c_{1}=0}$

${\displaystyle c_{2}=0}$

${\displaystyle y(x)=x^{3}}$