Bezesporná teorie

Teorie je sporná, je-li v ní dokazatelná nějaká sentence (tedy uzavřená formule) i její negace. Není-li teorie sporná, říkáme, že je bezesporná neboli konzistentní. Za spor se v teorii T považuje každá formule, která je v T dokazatelná spolu se svojí negací.

Následující vlastnosti teorie T jsou ekvivalentní (v logice s rovností):

• T je sporná.
• V T je dokazatelná každá sentence.
• V T je dokazatelná sentence ${\displaystyle (\exists x)(x\neq x)}$
• Nějaká konečná podteorie T je sporná.
• Neexistuje model T. (viz Gödelova věta o úplnosti predikátové logiky)

Tedy teorie obsahující spor je v „klasické“ logice nejsilnější teorií (ve smyslu velikosti množiny dokazatelných formulí), neboť dokazuje každé tvrzení. Dále platí:

• Rekurzivně axiomatizovaná bezesporná teorie obsahující Peanovu aritmetiku je neúplná. To je tvrzení první Gödelovy věty o neúplnosti.

Je-li T teorie a S její rozšíření, pak S je relativně bezesporná vůči T, pokud platí, že je-li T bezesporná, pak je bezesporná i S.

Tento pojem se často používá u rozšíření ZF a ZFC, neboť díky Gödelovým větám o neúplnosti je nemožné dokázat jejich bezespornost.

Příklad: Studiem konstruovatelných množin lze ukázat, že je-li ZF bezesporná, pak je bezesporná i ZF+CH. Bezespornost ZF však nelze dokázat. Proto je ZF+CH relativně bezesporná vzhledem k ZF.

• Úplná teorie
• Formální důkaz
• Gödelova věta o úplnosti predikátové logiky
• Gödelovy věty o neúplnosti