Teorie polomnožin

Některé definice v tomto odstavci využívají objekty, jejichž existenci a vlastnosti lze dokázat pouze použitím některých axiomů. Proto při výstavbě teorie polomnožin je nutné postupovat po krocích (zavést axiomy, jejich užitím definovat nějaké objekty, ty využít k formulaci dalších axiomů, pomocí nich definovat další objekty, atd …). Pro přehlednost jsou však uvedeny axiomy a definice zvlášť a v pořadí, které neodpovídá jejich postupnému zavádění, ale jejich významu.

• Uspořádanou dvojici <x,y> definujeme jako ${\displaystyle \,\{x,\{x,y\}\}}$ (existence takové množiny plyne z axiomu dvojice pro množiny - viz dále).
• Řekneme, že třída R je relace, značíme Rel(R), jsou-li všechny prvky R tvaru ${\displaystyle <u,v>}$ pro nějaké množiny u,v. Je-li ${\displaystyle <u,v>\in R}$, píšeme také někdy uRv. Definiční obor relace R, D(R), je množina všech v, pro které existuje u, že ${\displaystyle <u,v>\in R}$. Obor hodnot relace R, W(R), je množina všech u, pro které existuje v, že ${\displaystyle <u,v>\in R}$.
• Extenze prvku ${\displaystyle x\in D(R)}$ v relaci R, ${\displaystyle \,Ext_{R}(x)}$, je ${\displaystyle \{y;<y,x>\in R\}}$.
• Třída X je polomnožina, Pm(X), existuje-li množina y, že ${\displaystyle X\subseteq y}$.
• Relace R je regulární, Reg(R), je-li ${\displaystyle \,Ext_{R}(x)}$ polomnožinou pro všechna ${\displaystyle x\in D(R)}$.
• Relace R je prostá, Pr(R), je-li pro ${\displaystyle x\neq y}$ z D(R) nutně ${\displaystyle Ext_{R}(x)\neq Ext_{R}(y)}$.
• Třída X je exaktní funktor, Exct(X), je-li ${\displaystyle Rel(X)\land Reg(X)\land Pr(X)}$.

Axiomatizace teorie polomnožin se obvykle vyslovuje v logice obsahující dva druhy proměnných - proměnné pro množiny a proměnné pro třídy. V následující axiomatizaci budeme označovat proměnné pro množiny malými písmeny x,y,z,… a proměnné pro třídy velkými písmeny X,Y,Z,…

• (MP1) ${\displaystyle (\exists x)(x=X)\leftrightarrow (\exists Y)(X\in Y)}$ (Axiom definice množinové proměnné) Třída X je množina, právě když je prvkem nějaké třídy.
• (MP2) ${\displaystyle (\forall x)(\exists X)(x=X)}$ (Axiom inkluze množinových a třídových proměnných) Každá množina je zároveň třída.

• (TM1) ${\displaystyle (\exists X)(\exists Y)(X\in Y)}$ (Axiom existence množiny) Existuje nějaká množina.
• (TM2) ${\displaystyle (\forall Z)(Z\in X\leftrightarrow Z\in Y)\leftrightarrow (X=Y)}$ (Axiom extenzionality pro třídy) Třídy jsou si rovny právě když mají stejné prvky.
• (TM3) ${\displaystyle (\forall x,y)(\exists z)(\forall u)(u\in z\leftrightarrow (u=x\vee u=y))}$ (Axiom dvojice pro množiny) Pro každé dvě množiny existuje množina, která je neuspořádanou dvojicí těchto množin.
• (TM4) ${\displaystyle (\exists x)(\emptyset \in x\land (\forall y)(y\in x\rightarrow \{y\}\in x))}$ (Axiom nekonečna) Existuje nekonečná množina.

• (GT1) ${\displaystyle (\exists Y)(\forall x)(x\in Y)}$ (Existence univerzální třídy) Existuje třída všech množin.
• (GT2) ${\displaystyle (\forall X)(\exists Y)(\forall x)(x\in Y\leftrightarrow (\exists u,v)(x\in X\land x=<u,v>\land u\in v))}$ (Existence reprezentace ${\displaystyle \in }$) Na každé třídě existuje třídová reprezentace relace ${\displaystyle \in }$.
• (GT3) ${\displaystyle (\forall X,Y)(\exists Z)(\forall x)(x\in Z\leftrightarrow (x\in X\land x\not \in Y))}$ (Axiom doplňku) Pro každé dvě třídy existuje doplněk jedné do druhé.
• (GT4) ${\displaystyle (\forall X)(\exists Y)(\forall x)(x\in Y\leftrightarrow (\exists y)(<y,x>\in X))}$ (Axiom projekce) Pro každou třídu je její definiční obor rovněž třídou.
• (GT5) ${\displaystyle (\forall X,Y)(\exists Z)(\forall x)(x\in Z\leftrightarrow (\exists u,v)(x\in X\land x=<u,v>\land v\in Y))}$ (Axiom zúžení) Pro každé dvě třídy existuje zúžení jedné na druhou.
• (GT6) ${\displaystyle (\forall X)(\exists Y)(\forall x)(x\in Y\leftrightarrow (\exists u,v)(x=<u,v>\land <v,u>\in X))}$ (Axiom binární inverze) Pro každou třídu (binární relaci) existuje třída k ní inverzní.
• (GT7) ${\displaystyle (\forall X)(\exists Y)(\forall x)(x\in Y\leftrightarrow (\exists u,v,w)(x=<u,v,w>\land <v,w,u>\in X))}$ (Axiom ternární inverze) Pro každou třídu (ternární relaci) existuje třída, jež je její „cyklickou záměnou“.

• (GM2) ${\displaystyle (\forall x)(\exists y)(\forall u)(u\in y\leftrightarrow (\exists v,w)(u\in x\land u=<v,w>\land v\in w))}$ (Existence reprezentace ${\displaystyle \in }$) Na každé množině existuje množinová reprezentace relace ${\displaystyle \in }$.
• (GM3) ${\displaystyle (\forall x,y)(\exists z)(\forall u)(u\in z\leftrightarrow (u\in x\land u\not \in y))}$ (Axiom doplňku) Pro každé dvě množiny existuje doplněk jedné do druhé.
• (GM4) ${\displaystyle (\forall x)(\exists y)(\forall u)(u\in y\leftrightarrow (\exists v)(<v,u>\in x))}$ (Axiom projekce) Pro každou množinu je její definiční obor rovněž množinou.
• (GM5) ${\displaystyle (\forall x,y)(\exists z)(\forall u)(u\in z\leftrightarrow (\exists v,w)(u\in x\land u=<v,w>\land w\in y))}$ (Axiom zúžení) Pro každé dvě množiny existuje zúžení jedné na druhou.
• (GM6) ${\displaystyle (\forall x)(\exists y)(\forall u)(u\in y\leftrightarrow (\exists v,w)(u=<v,w>\land <w,v>\in x))}$ (Axiom binární inverze) Pro každou množinu (binární relaci) existuje množina k ní inverzní.
• (GM7) ${\displaystyle (\forall x)(\exists y)(\forall u)(u\in y\leftrightarrow (\exists v,w,r)(u=<v,w,r>\land <w,r,v>\in x))}$ (Axiom ternární inverze) Pro každou třídu (ternární relaci) existuje třída, jež je její „cyklickou záměnou“.

• (EF) ${\displaystyle Extc(X)\rightarrow (Pm(D(X))\leftrightarrow Pm(W(X)))}$ (Axiom exaktního funktoru) Exaktní funktor má polomnožinový definiční obor, právě když má polomnožinový obraz.