Složené úročení

Úrokovací doba se označuje písmenem t a v složeném úročení nabývá tedy pouze celočíselných hodnot (1, 2, 3, …, n).

• Pokud by hodnota byla menší než 1, jednalo by se o jednoduché úročení.
• Pokud by hodnota nebyla celočíselná, ale zároveň byla větší než 1, šlo by o kombinované úročení.

Počáteční jistina má zkratku ${\displaystyle j_{o}}$ a jde o částku počátečního, základního vkladu. Vždy je úročena 100 %.

Zvětšená jistina má zkratku ${\displaystyle j_{t}}$ a jde o počáteční částku zvětšenou o úrok.

Úrok značený písmenem ${\displaystyle {\acute {u}}}$ je peněžní částka, kterou platí dlužník věřiteli za poskytnutí peněz.

Úroková sazba značená ve vzorci i je uvedena ve finančních tabulkách a odpovídá sazbě procentové. Musí být ovšem vyjádřena současně s uvedeným úrokovacím obdobím.

Základní vztah složeného úročení je tedy ${\displaystyle j_{t}=j_{o}\cdot (1+i)^{t}}$. Výraz ${\displaystyle (1+i)^{t}}$ je takzvaný úročitel ${\displaystyle r^{t}}$.

Zvětšenou jistinu složeným úročením tedy spočteme tak, že počáteční jistinu násobíme příslušným úročitelem.

Samotný úrok je definován jako rozdíl mezi zvětšenou částkou a počáteční jistinou, matematicky zapsáno jako: ${\displaystyle {\acute {u}}=j_{t}-j_{o}}$

Úrok tedy počítáme tak, že počáteční jistinu násobíme úročitelem zmenšeným o jedničku: ${\displaystyle j_{o}={\frac {\acute {u}}{r^{t}-1}}}$

Pokud naopak známe zvětšenou jistinu (peníze po zúročení – tedy částku včetně úroku) postupujeme tak, že zvětšenou jistinu dělíme úročitelem:${\displaystyle j_{o}={\frac {j_{t}}{r^{t}}}}$ Této operaci říkáme také odúročení (z toho plyne, že převrácená hodnota úročitele je odúročitel).

Ve finanční matematice existují určitá typická výpočetní schémata a k nim vztažené termíny podobně jako zmíněný úročitel nebo odúročitel.

• Úročitel - vyjadřuje budoucí hodnotu vkladu vloženého na učtité období, za určitou úrokovou sazbu
• Odúročitel [opak úročitele] - Pokud známe hodnotu vkladu, který se po určitou dobu úročil za známou úrokovou sazbu, tak pomocí odúročitele vypočítáme původní hodnotu vkladu na počátku => současnou hodnotu
• Střadatel - pomocí střadatele vypočítáme budoucí hodnotu pravidelné úložky, která je ukládána ve stejné výši po určitou dobu za určitou úrokovou sazbu
• Fondovatel [opak střadatele] - vyjadřuje jakou pravidelnou úložku bychom měli ukládat během určitého období se známou úrokovou sazbou, abycho uspořili cílovou částku
• Zásobitel - vyjadřuje jaký vklad bychom dnes měli vložit, aby nám po určité období plynuly pravidelné částky (renta)
• Umořovatel [opak zásobitele] - Pomocí umořovatele se stanovuje anuita, kterou umořujeme úvěr známe-li počet období a úrokovou sazbu úvěru. Většina splátek uvěrů pro občany je počítána pomocí umořovatele[1]

Předpokládejme, že před 2000 lety byla do banky vložena 1 Kč s úrokovou sazbou 1 %.

Po jednom roce bude výnos o 1 % více než jedna koruna, tedy přesně 1,01 Kč. Druhý rok bude úrok spočítán jako 1 % z 1,01 Kč. Výnos tedy bude 1,01×1,01. Po třech letech výnos bude ${\displaystyle (1{,}01)^{3}}$. Po 2000 letech vstupní částka 1 Kč vzroste na ${\displaystyle (1{,}01)^{2000}}$ Kč, což je takřka 440 milionů Kč.