Ehrenfestovy teorémy
Ehrenfestovy teorémy (též Ehrenfestovy rovnice) určují vztah mezi časovou derivací střední hodnoty kvantově-mechanického operátoru a komutátorem tohoto operátoru s hamiltoniánem daného systému. Obecné vyjádření má tvar
- ,
kde je nějaký kvantově-mechanický operátor a je jeho střední hodnota. Tvrzení je pojmenováno po Paulu Ehrenfestovi.
Ehrenfetovy teorémy mají úzký vztah k Liouvillově větě v Hamiltonovské formulaci mechaniky, kde se místo komutátoru vyskytuje Poissonova závorka.
Odvození
Uvažujme systém, který se nachází v kvantovém stavu . Pro časovou derivaci střední hodnoty operátoru platí
-
- ,
přičemž se integruje přes celý prostor. V mnoha případech (ale ne vždy) je operátor časově nezávislý, takže jeho derivace je nulová. V takovém případě je možné zanedbat člen .
Pomocí Schrödingerovy rovnice lze zjistit, že
a také
Vzhledem k tomu, že hamiltonián je hermiteovský operátor, bude platit . Dosazením do předchozí rovnice dostaneme
Příklad
Pro hmotnou částici v potenciálním poli lze hamiltonián zapsat jako
- ,
kde x je poloha částice. Předpokládejme, že chceme znát okamžitou změnu hybnosti p. Z Ehrenfestova teorému dostaneme
- ,
kde bylo využito toho, že p komutuje samo se sebou a v souřadnicové reprezentaci lze operátor hybnosti vyjádřit jako , z čehož plyne . Tedy
Pomocí pravidla o derivaci součinu dostaneme
- .
Tento výraz má tvar druhého Newtonova zákona. Operátor lze pak chápat jako operátor síly.
Jedná se o příklad principu korespondence.
Jiným příkladem je vztah mezi změnou polohy a hybností, který lze vyjádřit jako
- ,
kde je hmotnost částice.
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Ehrenfest theorem na anglické Wikipedii.
Související články
Externí odkazy
- Obrázky, zvuky či videa k tématu Ehrenfestovy teorémy na Wikimedia Commons