Diferenciální rovnice

Základní dělení diferenciálních rovnic je podle typu obsažených derivací:

• Obyčejné diferenciální rovnice (ODR): obsahují derivace hledané funkce jen podle jedné proměnné.
• Parciální diferenciální rovnice (PDR): obsahují derivace hledané funkce podle více proměnných, tedy parciální derivace.

Většinou jde o rovnice typu: ${\displaystyle y^{m}=\sum _{k=1}^{P}x^{k}\sum _{j=1}^{N}y^{j};m>P>N}$ Pokud je dáno ${\displaystyle m}$ diferenciálních rovnic pro ${\displaystyle n}$ neznámých funkcí, pak hovoříme o soustavě diferenciálních rovnic.

Řád diferenciální rovnice je řád nejvyšší derivace, která je v ní obsažená. Za řád soustavy diferenciálních rovnic považujeme hodnotu nejvyšší derivace, která se v soustavě vyskytuje. Podle řádu bývají diferenciální rovnice děleny na diferenciální rovnice prvního řádu a diferenciální rovnice vyšších řádů.

Diferenciální rovnice, v nichž se hledaná funkce vyskytuje pouze lineárně, přičemž se nikde nevyskytují ani součiny hledané funkce s jejími derivacemi, ani součiny derivací této funkce, označujeme jako lineární diferenciální rovnice. Pokud jedna z uvedených podmínek není splněna, hovoříme o nelineárních diferenciálních rovnicích.

Za řešení (integrál) diferenciální rovnice (v daném oboru) považujeme každou funkci, která má příslušné derivace a vyhovuje dané diferenciální rovnici. Řešením (integrálem) soustavy diferenciálních rovnic je množina funkcí s derivacemi potřebného řádu, které vyhovují všem rovnicím dané soustavy.

Řešení diferenciálních rovnic dělíme na

• obecné – Jako obecné řešení označujeme takové řešení diferenciální rovnice, které obsahuje libovolnou integrační konstantu. Přiřadíme-li každé konstantě obecného řešení určitou číselnou hodnotu, získáme řešení partikulární.
• partikulární (částečné) – Partikulární (částečné) řešení je řešení diferenciální rovnice, které získáme přiřazením určité číselné hodnoty každé integrační konstantě obecného řešení.
• singulární (výjimečné) – Některá řešení nelze získat z obecného řešení. Taková řešení, která se vyskytují pouze u některých rovnic, popř. v některých bodech oboru, označujeme jako singulární nebo výjimečná.
• homogenní

Partikulární řešení můžeme v případě jednoduchých diferenciálních rovnic vypočítat analyticky. Nicméně ve velkém množství případů je analytické řešení příliš obtížné a diferenciální rovnice se řeší numericky.

Stojí-li v místnosti sklenice s horkým čajem (který pro jednoduchost pokládejme za teplotně homogenní), ubývá z ní teplo rychlostí, kterou pro jednoduchost pokládejme za přímo úměrnou rozdílu mezi teplotou čaje ${\displaystyle T}$ a teplotou v místnosti ${\displaystyle T_{0}}$ (kterou pro jednoduchost pokládejme za konstantní). Koeficient této úměrnosti značme ${\displaystyle k}$. Máme tedy diferenciální rovnici

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} t}}=k(T_{0}-T)}$

a chceme najít všechny funkce ${\displaystyle T(t)}$ (závislost teploty na čase), které ji splňují.

Tato rovnice je tedy podle výše uvedené klasifikace obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu.

• ExpressionsinBar
• Maple:[1] dsolve
• SageMath[2]
• Xcas:[3] desolve(y'=k*y,y)

• Diferenciální počet
• Integrální rovnice
• Integro-diferenciální rovnice
• Homogenní diferenciální rovnice
• Cauchyho úloha
• Lineární diferenciální rovnice
• Obyčejná diferenciální rovnice
• Parciální diferenciální rovnice
• Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty

• Obrázky, zvuky či videa k tématu diferenciální rovnice na Wikimedia Commons
• MAW - matematické výpočty online umožňuje online řešení diferenciálních rovnic, včetně zobrazení postupu (separovatelné DR, lineární DR prvního a druhého řádu).