Carathéodoryho existenční věta

Uvažujme diferenciální rovnici

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))\,}$

s počáteční podmínkou

${\displaystyle y(t_{0})=y_{0},\,}$

kde funkce ƒ je definovaná na obdélníku

${\displaystyle R=\{(t,y)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\,:\,|t-t_{0}|\leq a,|y-y_{0}|\leq b\}.}$

Peanova existenční věta tvrdí, že jestliže ƒ je spojitá, pak diferenciální rovnice má v okolí počáteční podmínky alespoň jedno řešení[1].

Je však možné uvažovat i diferenciální rovnice s nespojitou pravou stranou, jako je rovnice

${\displaystyle y'(t)=H(t),\quad y(0)=0,}$

kde H je Heavisideova funkce definovaná vztahem

${\displaystyle H(t)={\begin{cases}0,&{\text{jestliže }}t\leq 0;\\1,&{\text{jestliže }}t>0.\end{cases}}}$

Pak dává smysl považovat náběhovou funkci

${\displaystyle y(t)=\int _{0}^{t}H(s)\,\mathrm {d} s={\begin{cases}0,&{\text{jestliže }}t\leq 0;\\t,&{\text{jestliže }}t>0\end{cases}}}$

za řešení této diferenciální rovnice. I když, přesně řečeno, tato funkce nevyhovuje diferenciální rovnici v bodě ${\displaystyle t=0}$, protože náběhová funkce tam není derivovatelná. Nabízí se možnost rozšířit podmínky, aby dovolovaly i řešení, která nejsou všude derivovatelná, což vede k definici:

Funkce y se nazývá řešením diferenciální rovnice ${\displaystyle y'=f(t,y)}$ s počáteční podmínkou ${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}}$ v rozšířeném smyslu, jestliže

• y je absolutně spojitá funkce,
• y vyhovuje diferenciální rovnici skoro všude, a
• y vyhovuje počáteční podmínce[2].

Z absolutní spojitosti y vyplývá, že má derivaci skoro všude[3].

Uvažujme diferenciální rovnici

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\,}$

s funkcí ${\displaystyle f}$ definovanou na obdélníku ${\displaystyle R=\{(t,y)\,|\,|t-t_{0}|\leq a,|y-y_{0}|\leq b\}}$. Jestliže funkce ${\displaystyle f}$ vyhovuje následujícím třem podmínkám:

• ${\displaystyle f(t,y)}$ je spojitá v ${\displaystyle y}$ pro každé pevné ${\displaystyle t}$,
• ${\displaystyle f(t,y)}$ je měřitelná v ${\displaystyle t}$ pro každé pevné ${\displaystyle y}$,
• existuje funkce ${\displaystyle m(t)}$ Lebesgueovsky integrovatelná na ${\displaystyle |t-t_{0}|\leq a}$ taková, že ${\displaystyle |f(t,y)|\leq m(t)}$ pro všechna ${\displaystyle (t,y)\in R}$,

pak diferenciální rovnice má řešení v rozšířeném smyslu v okolí počáteční podmínky[4].

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Carathéodory's existence theorem na anglické Wikipedii.

• CODDINGTON, Earl; LEVINSON, Norman. Theory of Ordinary Differential Equations. New York: McGraw-Hill, 1955. Dostupné online..
• RUDIN, Walter. Real and complex analysis. 3. vyd. New York: McGraw-Hill, 1987. ISBN 978-0-07-054234-1..

• Absolutně spojitá funkce
• Obyčejná diferenciální rovnice
• Cauchyho úloha
• Spojitá funkce
• Měřitelná funkce
• Peanova existenční věta