Burnsideův problém

Nechť G je grupa. Množina ${\displaystyle X\subseteq G}$ se nazývá množinou generátorů G, lze-li každý prvek G vyjádřit jako konečný součin prvků z X a jejich inverzí (tj. prvků tvaru ${\displaystyle x^{-1}}$ pro ${\displaystyle x\in X}$). Grupa se nazývá konečně generovaná, má-li konečnou množinu generátorů.

Grupa G se nazývá periodická (také torzní) pokud ke každému ${\displaystyle g\in G}$ existuje n, že ${\displaystyle g^{n}=1}$.

Obecný Burnsideův problém lze formulovat následujícím způsobem:

Nechť G je konečně generovaná periodická grupa. Musí pak G být konečná?

Řešení obecného Burnsideova problému je negativní. V roce 1964 sestrojili Golod a Šafarevič příklad nekonečné periodické konečně generované grupy (jejich grupa byla dokonce p-grupou).

Burnsideův problém je upřesněním obecného Burnsideova problému. Zní následovně:

Nechť je dáno přirozené n a grupa G konečně generovaná a splňující ${\displaystyle g^{n}=1}$ pro všechny své prvky g. Musí pak G být konečná?

Roku 1968 Adian a Novikov ukázali, že pro každé liché n > 4381 je odpověď negativní. Zajímavou třídou protipříkladů jsou takzvaná Tarského monstra pocházející z roku 1982. V plné obecnosti zůstává problém dodnes nevyřešen.

Omezený Burnsideův problém byl položen v roce 1930. Lze ho formulovat takto:

Existuje jen konečně mnoho (neizomorfních) konečných grup generovaných r prvky a splňujících ${\displaystyle g^{n}=1}$ pro všechna ${\displaystyle g\in G}$, kde r a n jsou daná přirozená čísla?

Kladnou odpověď na tento problém podal roku 1991 Zelmanov. Za toto řešení obdržel roku 1994 Fieldsovu medaili. Zelmanovovo řešení používá teorii Lieových algeber.

• William Burnside
• Golodova věta
• Efim Izakovič Zelmanov

• A History of the Burnside Problem