Bretschneiderův vzorec
V geometrii je Bretschneiderův vzorec následující výraz pro obsah obecného čtyřúhelníku:
Zde, a, b, c, d jsou strany čtyřúhelníka, s je poloviční obvod, a α a γ jsou dva protilehlé úhly.
Bretschneiderův vzorec lze použít na jakémkoli čtyřúhelníku, ať už je pravidelný, nebo ne.
Německý matematik Carl Anton Bretschneider objevil vzorec v roce 1842. Vzorec byl také odvozen ve stejném roce německým matematikem Karlem Georgem Christianem Staudtem.
Důkaz
Označte obsah čtyřúhelníku S je pak:
Proto
Věta kosinova naznačuje
protože obě strany se rovnají čtverci délky diagonály BD. To může být přepsáno jako
Přidá se k výše uvedenému vzorci
Všimněte si, že:
Podle stejných kroků jako ve vzorci Brahmagupty to může být napsáno jako
Představení polovičního obvodu
dosazením výše
a Bretschneiderův vzorec následuje po druhé odmocnině obou stran:
Související vzorce
Bretschneiderův vzorec zobecňuje vzorec Brahmaguptyho pro oblast tětivového čtyřúhelníku , který zase zobecňuje Heronův vzorec pro oblast trojúhelníku.
Trigonometrické přizpůsobení ve vzorci Bretschneidera pro necyklickost čtyřúhelníku může být přepsáno netrigonometricky z hlediska stran a diagonál e a f [1] [2]
Poznámky
- JL Coolidge, "Historicky zajímavý vzorec pro oblast čtyřúhelníku", American Mathematical Monthly , 46 (1939) 345-347. ( JSTOR )
- EW Hobson: Pojednání o rovinné trigonometrii . Cambridge University Press, 1918, str. 204-205
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Bretschneider's formula na anglické Wikipedii.
Odkazy a další čtení
- Ayoub B. Ayoub: Zobecnění Ptolemaia a Brahmaguptaových vědomostí . Matematika a počítačová výchova, číslo 41, číslo 1, 2007, ISSN 0730-8639
- EW Hobson : Pojednání o rovinné trigonometrii . Cambridge University Press, 1918, s. 204-205 ( online kopie )
- CA Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 ( online kopie, němčina )
- F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes . Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 ( online kopie, němčina )