Tětivový čtyřúhelník

Tětivový čtyřúhelník

Součet velikostí protějších vnitřních úhlů tětivového čtyřúhelníku je úhel přímý. Nechť |∠ABC| = β, |∠ADC| = δ a ABCD je tětivový čtyřúhelník. Libovolná jeho úhlopříčka, např. AC, dělí kružnici k na dva oblouky: na jednom z nich je vrchol B, na druhém vrchol D. Pro jim příslušné středové úhly, kde |∠ASC| = 2β, |∠ASB| = 2δ, platí 2β + 2δ = 360°. Pro příslušné obvodové úhly platí β + δ = 180°. Součet velikostí vnitřních úhlů u vrcholů B a D je 180°. Součet velikostí vnitřních úhlů u zbývajících vrcholů musí být tedy rovněž 180°. Jestliže platí β + δ = 180°, pak sestrojíme-li kružnici k opsanou trojúhelníku ABC, musí tato kružnice procházet i vrcholem D, neboť součet středových úhlů příslušných kružnicovým obloukům ABC, ADC je 2 ⋅ (β + δ) = 360°.[1]

Tětivové čtyřúhelníky jsou například čtverec, obdélník a rovnoramenný lichoběžník.

Pro rozměry tětivového čtyřúhelníku platí Ptolemaiova věta: Součin (délek) úhlopříček ve čtyřúhelníku je roven součtu součinů (délek) jeho protějších stran.

${\displaystyle ef=ac+bd}$

Pro obsah tětivového čtyřúhelníku platí Brahmaguptův vzorec:

${\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}},}$

kde ${\displaystyle s=(a+b+c+d)/2}$ je jeho poloviční obvod.

Z něj lze dostat jako limitní případ, kdy se jedna ze stran rovná nule (např. d), Heronův vzorec pro obsah trojúhelníka,

${\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$.

• Čtyřúhelník
• Tečnový čtyřúhelník
• Dvojstředový čtyřúhelník
• Heronův vzorec