(ε, δ)-definice limity

${\displaystyle (\varepsilon ,\delta )}$ definice limity funkce je následující:

Nechť ${\displaystyle f}$ je reálná funkce definovaná na podmnožině ${\displaystyle D}$ reálných čísel. Nechť ${\displaystyle c}$ je mezní bod ${\displaystyle D}$ a nechť ${\displaystyle L}$ je reálné číslo. Pak říkáme, že

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}f(x)=L,}$

pokud pro každé ${\displaystyle \varepsilon }$ existuje ${\displaystyle \delta }$ takové, že pro všechna ${\displaystyle x\in D,}$ pokud ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta ,}$ pak ${\displaystyle 0<|f(x)-L|<\varepsilon .}$

Symbolicky:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}f(x)=L\Longleftrightarrow (\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in D,0<|x-a|<\delta \implies 0<|f(x)-L|<\varepsilon ).}$

Pokud ${\displaystyle D=[a,b]}$ nebo ${\displaystyle D=\mathbb {R} ,}$ pak je podmínka, že ${\displaystyle c}$ je mezní bod, je automaticky splněna, protože každý uzavřený reálný interval a celá reálná osa jsou dokonalé množiny.

Tuto definici lze zobecnit i na funkce, které jsou zobrazením mezi metrickými prostory. Tyto prostory nesou funkci zvanou metrika, která bere dva body v tomto prostoru a vrací reálné číslo, které představuje vzdálenost mezi nimi.[15] Zobecněná definice pak zní:[16]

Nechť ${\displaystyle f}$ je zobrazení z podmnožiny ${\displaystyle D}$ metrického prostoru ${\displaystyle X}$ s metrikou ${\displaystyle d_{X}(x,y)}$ do metrického prostoru ${\displaystyle Y}$ s metrikou ${\displaystyle d_{Y}(x,y).}$ Nechť ${\displaystyle c}$ je mezní bod ${\displaystyle D}$ a nechť ${\displaystyle L}$ je bod v ${\displaystyle Y.}$

Pak říkáme, že

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}f(x)=L}$

pokud pro každé ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje ${\displaystyle \delta >0}$ takové, že pro všechna ${\displaystyle x\in D,}$ pokud ${\displaystyle 0<d_{X}(x,c)<\delta ,}$ pak ${\displaystyle 0<d_{Y}(f(x),L)<\varepsilon .}$

Jelikož ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$ je metrika na reálných číslech, lze dokázat, že tato definice zobecňuje první definici pro reálné funkce.[17]

Negace této definice je následující:[18]

Nechť ${\displaystyle f}$ je zobrazení z podmnožiny ${\displaystyle D}$ metrického prostoru ${\displaystyle X}$ s metrikou ${\displaystyle d_{X}(x,y)}$ do metrického prostoru ${\displaystyle Y}$ s metrikou ${\displaystyle d_{Y}(x,y).}$ Nechť ${\displaystyle c}$ je mezní bod ${\displaystyle D}$ a nechť ${\displaystyle L}$ je bod v ${\displaystyle Y.}$

Pak říkáme, že

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}f(x)\neq L}$

pokud existuje ${\displaystyle \varepsilon >0}$ takové, že pro všechna ${\displaystyle \delta >0}$ existuje ${\displaystyle x\in D}$ takové, že ${\displaystyle 0<d_{X}(x,c)<\delta }$ a ${\displaystyle d_{Y}(f(x),L)>\varepsilon .}$

Říkáme, že ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}f(x)}$ neexistuje, pokud pro všechna ${\displaystyle L\in Y,\ \lim _{x\rightarrow c}f(x)\neq L.}$

Pro negaci definice pro reálnou funkci definovanou na reálných číslech lze jednoduše dosadit ${\displaystyle d_{X}(x,y)=d_{Y}(x,y)=|x-y|.}$

Přesná definice pro nekonečné limity je následující:

Nechť ${\displaystyle f}$ je zobrazení z podmnožiny ${\displaystyle D}$ metrického prostoru ${\displaystyle X}$ s metrikou ${\displaystyle d_{X}(x,y)}$ do metrického prostoru ${\displaystyle Y}$ s metrikou ${\displaystyle d_{Y}(x,y).}$ Nechť ${\displaystyle L\in Y.}$

Pak říkáme, že

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=L}$

pokud pro každé ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje reálné číslo ${\displaystyle N>0}$ takové, že existuje ${\displaystyle x\in D}$ takové, že ${\displaystyle d_{X}(x,0)>N,}$ a že pokud ${\displaystyle d_{X}(x,0)>N}$ a ${\displaystyle x\in D,}$ pak ${\displaystyle d_{Y}(f(x),L)<\varepsilon .}$

Ukážeme, že

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}x\cdot \sin \left({\frac {1}{x}}\right)=0}$ .

Nechť máme dané ${\displaystyle \varepsilon >0.}$ Musíme najít ${\displaystyle \delta >0}$ takové, že pokud ${\displaystyle |x-0|<\delta ,}$ pak ${\displaystyle \left|x\cdot \sin \left({\frac {1}{x}}\right)-0\right|<\varepsilon .}$

Jelikož sinus je shora omezený na 1 a zdola na -1, platí

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|x\cdot \sin \left({\frac {1}{x}}\right)-0\right|&=\left|x\cdot \sin \left({\frac {1}{x}}\right)\right|\\&=|x|\left|\sin \left({\frac {1}{x}}\right)\right|\\&\leq |x|.\end{aligned}}}$

Pokud tedy vezmeme ${\displaystyle \delta =\varepsilon ,}$ pak pokud ${\displaystyle |x|=|x-0|<\delta ,}$ tak ${\displaystyle \left|x\cdot \sin \left({\frac {1}{x}}\right)-0\right|\leq |x|<\delta =\varepsilon ,}$ což dokončuje důkaz.

Dokažme tvrzení, že

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}x^{2}=a^{2}}$

pro libovolné reálné číslo ${\displaystyle a}$ .

Nechť máme dané ${\displaystyle \varepsilon .}$ Najdeme ${\displaystyle \delta }$ takové, že pokud ${\displaystyle |x-a|<\delta ,}$ pak ${\displaystyle \left|x^{2}-a^{2}\right|<\varepsilon .}$

Začneme rozkladem na součin:

${\displaystyle \left|x^{2}-a^{2}\right|=|(x+a)(x-a)|=|x+a|\cdot |x-a|}$

Všimněme si, že ${\displaystyle |x-a|}$ je činitel shora ohraničený ${\displaystyle \delta ,}$ takže za mez můžeme určit 1 a později pro ${\displaystyle \delta }$ vzít něco menšího.[19]

Inu předpokládejme, že ${\displaystyle |x-a|<1.}$ Jelikož ${\displaystyle |x|-|y|\leq |x-y|}$ platí pro obecná reálná čísla ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle y,}$ máme

${\displaystyle |x|-|a|\leq |x-a|<1}$

Takže

${\displaystyle |x|<1+|a|.}$

A tedy podle trojúhelníkové nerovnosti:

${\displaystyle |x+a|\leq |x|+|a|<2|a|+1.}$

Pokud tedy budeme dále předpokládat, že

${\displaystyle |x-a|<{\frac {\varepsilon }{2|a|+1}},}$

pak

${\displaystyle \left|x^{2}-a^{2}\right|<\varepsilon .}$

Nakonec tedy stanovíme

${\displaystyle \delta =\min \left(1,{\frac {\varepsilon }{2|a|+1}}\right).}$

Takže pokud ${\displaystyle |x-a|<\delta ,}$ pak

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|x^{2}-a^{2}\right|&=|x+a|\cdot |x-a|\\&<{\frac {\varepsilon }{2|a|+1}}\cdot |x+a|\\&<{\frac {\varepsilon }{2|a|+1}}\cdot (2|a|+1)\\&=\varepsilon .\end{aligned}}}$

Našli jsme tedy takové ${\displaystyle \delta ,}$ že pokud ${\displaystyle |x-a|<\delta ,}$ pak ${\displaystyle |x^{2}-a^{2}|<\varepsilon .}$ Ukázali jsme tedy, že

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}x^{2}=a^{2}}$

pro jakékoliv reálné číslo ${\displaystyle a.}$

Dokažme, že

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 5}3x-3=12.}$

Nejlépe je to vidět pomocí grafického znázornění limity, které se tím stává pevným základem pro důkaz. Podle formální definice výše je limitní výrok platný, právě když pokud omezíme ${\displaystyle x}$ na ${\displaystyle \delta }$ jednotek od ${\displaystyle c,}$ nevyhnutelně tím také omezíme ${\displaystyle f(x)}$ na ${\displaystyle \varepsilon }$ jednotek od ${\displaystyle L.}$ V tomto konkrétním případě to znamená, že tvrzení je pravdivé, právě když omezení ${\displaystyle x}$ na ${\displaystyle \delta }$ jednotek od 5 nevyhnutelně omezí

${\displaystyle 3x-3}$

na ${\displaystyle \varepsilon }$ jednotek od 12. Klíčem k odhalení této implikace je ukázat, jak jsou ${\displaystyle \varepsilon }$ a ${\displaystyle \delta }$ k sobě navzájem vztaženy tak, že implikace platí. Matematicky chceme ukázat, že

${\displaystyle |x-5|<\delta \implies |(3x-3)-12|<\varepsilon .}$

Po zjednodušení, rozkladu na součin a dělení třemi na pravé straně implikace dostaneme

${\displaystyle |x-5|<{\frac {\varepsilon }{3}},}$

což okamžitě splňuje podmínku, pokud zvolíme

${\displaystyle \delta ={\frac {\varepsilon }{3}}.}$

Tím je důkaz dokončen. Klíčem k důkazu spočívá v tom, zvolit mez pro ${\displaystyle x}$ a následně najít odpovídající mez pro ${\displaystyle f(x),}$ které se v tomto případě lišily o činitel 3, který plyne ze sklonu 3 přímky

${\displaystyle y=3x-3.}$