Úplný metrický prostor

Ke každému metrickému prostoru ${\displaystyle (\mathbf {M} ,\rho )}$ existuje takový úplný metrický prostor ${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}}$, že ${\displaystyle \mathbf {M} }$ je možné izometricky zobrazit na jeho podprostor ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {M} }}}$ hustý v ${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}}$. Prostor ${\displaystyle \mathbf {M} ^{*}}$ nazýváme úplným obalem metrického prostoru ${\displaystyle \mathbf {M} }$.

Platí, že pokud jsou ${\displaystyle (\mathbf {M} ^{*},\rho _{1}),(\mathbf {M} ^{**},\rho _{2})}$ úplné obaly metrického prostoru ${\displaystyle (\mathbf {M} ,\rho )}$, pak existuje izometrické zobrazení ${\displaystyle f:\mathbf {M} ^{*}\to \mathbf {M} ^{**}}$.

• Úplný metrický prostor není sjednocením spočetného systému řídkých množin.

• Je-li metrický prostor kompaktní, pak je i úplný.

• Metrický prostor X je úplný právě tehdy, když každá posloupnost do sebe zanořených uzavřených neprázdných podmnožin X, s poloměry jdoucími k 0, má neprázdný (přesněji jednobodový) průnik: jestliže F_n je uzavřená a neprázdná, F_n+1 ⊂ F_n pro každé n, a diam(F_n) → 0, pak existuje x ∈ X náležející každé množině  F_n.
• Uzavřený podprostor úplného prostoru je úplný.
• Prostor je úplný, právě když je absolutně uzavřený.
• Banachova věta o kontrakci říká, že v neprázdném úplném metrickém prostoru existuje pro danou kontrakci právě jeden pevný bod.

• Prostor reálných čísel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ s euklidovskou metrikou je úplný. Stejně tak prostor komplexních čísel ${\displaystyle \mathbb {C} }$ s metrikou danou absolutní hodnotou je úplný.
• Každý normovaný vektorový prostor konečné dimenze s metrikou indukovanou normou, tzn: ${\displaystyle \rho (a,b)=\|a-b\|}$ je úplný. Předchozí příklad je vlastně speciálním případem tohoto faktu.
• Každý metrický prostor s diskrétní metrikou je úplný, neboť v této metrice jsou cauchyovské pouze posloupnosti, které jsou od jistého indexu konstantní (a tedy jsou konvergentní).
• Prostor všech spojitých funkcí na uzavřeném intervalu ${\displaystyle C(\langle a,b\rangle )}$ s metrikou

  ${\displaystyle \rho (f,g)=\max _{a\leq x\leq b}{|g(x)-f(x)|}}$

je úplný.

• Prostor racionálních čísel (s eukleidovskou metrikou) není úplný metrický prostor. Příkladem budiž posloupnost racionálních čísel ${\displaystyle a_{1}=2}$, ${\displaystyle a_{2}=2,7}$, ${\displaystyle a_{3}=2,71}$, ${\displaystyle a_{4}=2,718}$, ${\displaystyle a_{5}=2,7182}$ a dále dle desetinného rozvoje cisla ${\displaystyle e}$, která je cauchyovská, ale její limitou je Eulerovo číslo, což je číslo iracionální. Posloupnost tedy není konvergentní v prostoru racionálních čísel.
• Jakýkoli (omezený) otevřený či polouzavřený interval na reálné ose je neúplný. Například na intervalu ${\displaystyle (0,1\rangle \,\!}$ není konvergentní posloupnost

${\displaystyle 1,{1 \over 2},{1 \over 3},{1 \over 4}\ldots \,\!}$

ačkoli je konvergentní v oboru všech reálných čísel.

• Banachův prostor – Úplný vektorový prostor.
• Banachova věta o pevném bodě
• Uzavřená množina
• Metrický prostor
• Kompaktní množina