Vandermondova konvolúcia

Vo všeobecnosti platí nasledujúci vzťah pre súčin dvoch polynómov stupňov m a r:

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=0}^{m}a_{i}x^{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=0}^{n}b_{j}x^{j}{\biggr )}=\sum _{r=0}^{m+n}{\biggl (}\sum _{k=0}^{r}a_{k}b_{r-k}{\biggr )}x^{r},}$

pričom používame konvencu, že a_i = 0 pre i > m a b_j = 0 pre všetky j > n. Z binomickej vety,

${\displaystyle (1+x)^{m+n}=\sum _{r=0}^{m+n}{m+n \choose r}x^{r}.}$

Ak použijeme binomickú vetu aj pre exponenty m a n a potom použijeme hore uvedený vzťah na násobenie polynómov, dostaneme

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{r=0}^{m+n}{m+n \choose r}x^{r}&=(1+x)^{m+n}\\&=(1+x)^{m}(1+x)^{n}\\&={\biggl (}\sum _{i=0}^{m}{m \choose i}x^{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}x^{j}{\biggr )}\\&=\sum _{r=0}^{m+n}{\biggl (}\sum _{k=0}^{r}{m \choose k}{n \choose r-k}{\biggr )}x^{r}.\end{aligned}}}$

Vidno, že hore uvedená konvencia ohľadom koeficientov polynómov súhlasí s definíciou binomického koeficientu, keďže pre i > m, v resp. j > n sú oba binomické koeficienty nulové.

Dôkaz Vandermondovej konvolúcie pre 0 ≤ r ≤ m + n teraz možno dostať jednoduchým porovnaním koeficientov pri rovnakých mocninách x^r v prvej a poslednej sume. Z definície binomických koeficientov vyplýva, že pre ostatné hodnoty r sú obe strany rovnosti nulové, a preto identita platí pre všetky hodnoty r.

Vandermondova konvolúcia sa okrem "klasického" algebraického dôkazu dá dokázať aj pomocou jej kombinatorického významu. Takýto dôkaz je, samozrejme, podstatne jednoduchší, aj keď o niečo menej exaktný ako prvý uvedený. To však nemení nič na jeho korektnosti.

Predstavme si nasledujúcu situáciu: v triede je m chlapcov a n dievčat. Koľkými spôsobmi môže učiteľ vyvolať k tabuli r žiakov (na poradí vyvolávania nezáleží)? Prvá možnosť je vybrať spomedzi všetkých m+n žiakov triedy r žiakov, čo vedie k riešeniu

${\displaystyle {m+n \choose r}}$.

Na druhej strane môžeme postupovať tak, že sčítame počet všetkých možností, pre ktorých bolo vyvolaných r chlapcov a 0 dievčat, r-1 chlapcov a 1 dievča, atď. až 0 chlapcov a r dievčat. A tento postup vedie k výsledku

${\displaystyle \sum _{k=0}^{r}{m \choose k}{n \choose r-k}.}$

Keďže sú však oba výsledky správne, nutne sa musia rovnať. Tým je Vandermondova konvolúcia dokázaná.

• Pascalov trojuholník

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Vandermonde's identity na anglickej Wikipédii.