Binomická veta

Ak je dané ľubovoľné kladné prirodzené číslo n, tak potom pre ľubovoľné reálne a komplexné čísla x a y platí:
${\displaystyle {(x+y)}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}x^{n-k}y^{k}}$
kde ${\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}}$ je kombinačné číslo, ktoré môžeme vypočítať nasledovným vzorcom: ${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$
Tieto kombinačné čísla sa tiež nazývajú binomické koeficienty Pascalovho trojuholníka a číslo n! je faktoriál čísla n.

Iný zápis vyzerá takto:

${\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}+{n \choose 1}x^{n-1}y+\dots +{n \choose k}x^{n-k}y^{k}+\dots +{n \choose n}y^{n},}$

pričom pre k-ty člen v tomto výraze platí:

${\displaystyle A_{k}={\begin{pmatrix}n\\{k-1}\end{pmatrix}}a^{n-k+1}b^{k-1}}$

Použijeme matematickú indukciu.

• Keď n = 0, rovnosť platí:

${\displaystyle (a+b)^{0}=1=\sum _{k=0}^{0}{0 \choose k}a^{0-k}b^{k}.}$

• Pre indukčný krok budeme predpokladať, že veta platí pre exponent m. Potom pre ${\displaystyle n=m+1}$:

${\displaystyle (a+b)^{m+1}=a(a+b)^{m}+b(a+b)^{m}\,}$

z indukčného predpokladu:

${\displaystyle =a\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k}b^{k}+b\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j}}$

násobené číslami ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}}$

vyjmutie ${\displaystyle k=0}$ zo sumy:

${\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}}$

substitúciou ${\displaystyle j=k-1}$:

${\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m+1}{m \choose k-1}a^{m-k+1}b^{k}}$

vyjmutie ${\displaystyle k=m+1}$ zo sumy:

${\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k-1}a^{m+1-k}b^{k}+b^{m+1}}$

zloženie dvoch súm:

${\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m+1-k}b^{k}}$

z Pascalovho pravidla:

${\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}}$

pridaním ${\displaystyle m+1}$ mocniny do výrazu:

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{m+1}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}}$ .

Q.E.D.

Príklady použitia binomickej vety pre n = 2, n = 3 a n = 4:

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,}$

${\displaystyle (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\,}$

${\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,}$

${\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,}$

Binomickú vetu možno zovšeobecniť aj pre prípad, že daný súčet dvoch reálnych (resp. komplexných) čísel je umocňovaný na reálne číslo.
Nech je teda a reálne číslo. Potom pre ľubovoľné reálne a komplexné čísla x a y také, že ${\displaystyle |{\frac {x}{y}}|<1}$ platí:
${\displaystyle {(x+y)}^{a}=\sum _{k=0}^{\infty }{\begin{pmatrix}a\\k\end{pmatrix}}x^{k}y^{a-k}}$
kde:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}}=1}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a\\k\end{pmatrix}}={\frac {a(a-1)(a-2)...(a-k+1)}{k!}}}$, kde k > 0[1][2][3]

• Binomické rozdelenie
• Pascalov trojuholník
• Kombinatorika
• Multinomická veta