Rozšírený Euklidov algoritmus

Nech ${\displaystyle k}$ je iterácia v Euklidovom algoritme, v ktorej bol nájdený najväčší spoločný deliteľ dvoch kladných celých čísel ${\displaystyle d=NSD(m,n)=d_{k}}$, čiže pre ktoré platí ${\displaystyle z_{k}=0}$. Spätným dosadením vyjadríme najväčší spoločný deliteľ ${\displaystyle d}$ ako lineárnu kombináciu ${\displaystyle c_{i}}$ a ${\displaystyle d_{i}}$ postupne pre každé ${\displaystyle i=k,k-1,...,0}$, t.j:

${\displaystyle d=c_{i}u_{i}+d_{i}v_{i}\qquad (9)}$

Dosadením (2) a (3) do (9) dostaneme:

${\displaystyle d=d_{i-1}u_{i}+z_{i-1}v_{i}\qquad (10)}$

a dosadením (1) do (10):

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}d&=d_{i-1}u_{i}+(c_{i-1}-d_{i-1}p_{i-1})v_{i}\\&=c_{i-1}v_{i}+d_{i-1}(u_{i}-p_{i-1}v_{i})\qquad (11)\end{alignedat}}}$

Porovnaním (11) a (9) dostávame výsledok:

${\displaystyle {\begin{array}{lcll}u_{i-1}&=&v_{i}&\qquad (12)\\v_{i-1}&=&u_{i}-p_{i-1}v_{i}&\qquad (13)\end{array}}}$

Tiež platí:

${\displaystyle d=d_{k}=c_{k}\cdot 0+d_{k}\cdot 1}$

preto:

${\displaystyle {\begin{array}{lcll}u_{k}&=&0&\qquad (14)\\v_{k}&=&1&\qquad (15)\end{array}}}$

1. [Inicializácia premenných.] Priraďte i ← k, u ← 0, v ← 1.

2. [Ukončovacia podmienka.] Ak i = 0 tak koniec, pričom NSD(m,n) = m·u + n·v

3. [Výpočet u a v.] Priraďte u_new ← v, v_new ← u - p[i-1]·v.

4. [Ďalšia iterácia.] Priraďte i ← i-1, u ← u_new, v ← v_new. Vráťte sa do bodu 2.

Poznámka: Výpočet prebieha opačným smerom než výpočet NSD a okrem naposledy vypočítanej dvojice hodnôt ${\displaystyle u_{i}}$ a ${\displaystyle v_{i}}$ je potrebné mať k dispozícii aj všetky hodnoty ${\displaystyle p_{i}}$.

Nech ${\displaystyle k}$ je iterácia v Euklidovom algoritme, v ktorej bol nájdený najväčší spoločný deliteľ dvoch kladných celých čísel ${\displaystyle d=NSD(m,n)=d_{k}}$, čiže pre ktoré platí ${\displaystyle z_{k}=0}$. Pre každé ${\displaystyle i=0,1,2,...,k-1}$ vyjadrime ${\displaystyle z_{i}}$ ako lineárnu kombináciu čísel ${\displaystyle m}$ a ${\displaystyle n}$, t.j. hľadáme dvojicu celých čísel ${\displaystyle a_{i}}$ a ${\displaystyle b_{i}}$, pre ktoré platí ${\displaystyle z_{i}=ma_{i}+nb_{i}\qquad (16)}$

• Pre ${\displaystyle i=0}$ z rovnosti (1) vyplýva:

${\displaystyle {\begin{array}{lclr}z_{0}&=&c_{0}-d_{0}p_{0}\\&=&m-np_{0}&\qquad (17)\end{array}}}$

preto

${\displaystyle {\begin{array}{lclr}a_{0}&=&1&\qquad (18)\\b_{0}&=&-p_{0}&\qquad (19)\end{array}}}$

• Pre ${\displaystyle i=1}$ z (1) vyplýva:

${\displaystyle {\begin{array}{lclr}z_{1}&=&c_{1}-d_{1}p_{1}&\qquad (20)\end{array}}}$

a podľa (2) a (3):

${\displaystyle {\begin{array}{lclcl}c_{1}&=&d_{0}&=&n\\d_{1}&=&z_{0}\end{array}}}$

Preto

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}z_{1}&=&n-z_{0}p_{1}\end{array}}}$

Po dosadení za ${\displaystyle z_{0}}$ zo (17) dostaneme:

${\displaystyle {\begin{array}{lclr}z_{1}&=&n-mp_{1}+np_{0}p_{1}\\&=&-mp_{1}+n(1+p_{0}p_{1})&\qquad (21)\end{array}}}$

A teda

${\displaystyle {\begin{array}{lclr}a_{1}&=&-p_{1}&\qquad (22)\\b_{1}&=&1+p_{0}p_{1}&\qquad (23)\end{array}}}$

• Pre ľubovoľné ${\displaystyle i>1}$ je podľa (2) a (3):

${\displaystyle {\begin{array}{lclcl}c_{i}&=&d_{i-1}&=&z_{i-2}\\d_{i}&=&z_{i-1}\end{array}}}$

Dosadením do (1) dostávame:

${\displaystyle {\begin{array}{lclcl}z_{i}&=&c_{i}-d_{i}p_{i}&=&z_{i-2}-z_{i-1}p_{i}\end{array}}}$

Ak poznáme (16) pre ${\displaystyle i-1}$ a ${\displaystyle i-2}$, dostávame:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}z_{i}&=&ma_{i-2}+nb_{i-2}-(ma_{i-1}+nb_{i-1})p_{i}\\&=&m(a_{i-2}-a_{i-1}p_{i})+n(b_{i-2}-b_{i-1}p_{i})\end{array}}}$

Preto pre ľubovoľné ${\displaystyle i>1}$ je:

${\displaystyle {\begin{array}{lclr}a_{i}&=&a_{i-2}-a_{i-1}p_{i}&\qquad (24)\\b_{i}&=&b_{i-2}-b_{i-1}p_{i}&\qquad (25)\end{array}}}$

• Ak sa nasledujúcim spôsobom zadefinujú hodnoty ${\displaystyle z_{i}}$, ${\displaystyle a_{i}}$ a ${\displaystyle b_{i}}$ aj pre ${\displaystyle i=-1}$ a ${\displaystyle i=-2}$:

${\displaystyle {\begin{array}{lcllcllcl}z_{-2}&=&m,&a_{-2}&=&1,&b_{-2}&=&0\\z_{-1}&=&n,&a_{-1}&=&0,&b_{-1}&=&1\end{array}}}$

bude rovnosť (16) platiť aj pre ne a vzťahy (24), (25) je možné použiť aj na zistenie ${\displaystyle a_{0},a_{1},b_{0},b_{1}}$.

1. [Inicializácia premenných.] Priraďte c ← m, d ← n, a_old ← 1, b_old ← 0, a ← 0, b ← 1.

2. [Výpočet podielu a zvyšku.] Vypočítajte celočíselný podiel p a zvyšok z po delení c / d.

3. [Ukončovacia podmienka.] Ak z = 0 tak koniec, pričom NSD(m,n) = d = m·a + n·b

4. [Výpočet a a b.] Priraďte a_new ← a_old - a·p, b_new ← b_old - b·p.

5. [Redukcia.] Priraďte c ← d, d ← z, a_old ← a, a ← a_new, b_old ← b, b ← b_new. Vráťte sa do bodu 2.

Poznámka: Výpočet prebieha súčasne s výpočtom NSD pričom je potrebné mať k dispozícii aj dve posledné dvojice hodnôt ${\displaystyle a_{i},b_{i}}$.