Modálna logika

Abeceda jazyka väčšiny modálnych logík obsahuje:

• konečnú alebo spočítateľnú množinu atomárnych symbolov.
• niektoré štandardné spojky výrokovej logiky, ako ${\displaystyle \{\rightarrow ,\leftrightarrow ,\neg ,\vee ,\wedge \}}$.
• a symbol ${\displaystyle \Box }$, ktorý vo výrokoch zastupuje modalitu nutnosti. Teda formula ${\displaystyle \Box \,\varphi }$ sa číta "Nutne ${\displaystyle \varphi }$" alebo "Je nutné, že ${\displaystyle \varphi }$".

Syntaktické pravidlá definujúce množinu formúl sú konštrukčné pravidlá pre spojky výrokovej logiky a navyše pravidlo pre konštrukciu formúl s modalitou:

• ak ${\displaystyle \varphi }$ je formula, potom aj ${\displaystyle \Box \,\varphi }$ je formula.

V takto vybudovanom jazyku sa definuje symbol ${\displaystyle \Diamond }$, ktorý zastupuje modalitu možnosti, ako syntaktická skratka:

${\displaystyle \Diamond \,\varphi \Leftrightarrow _{\!_{\mathit {def}}}\neg \Box \neg \varphi }$

Táto definícia vychádza z pozorovania, že možnosť pravdivosti tvrdenia je iba nenutnosť jeho nepravdivosti. Alternatívne sa dá jazyk modálnych logík budovať tak, že sa symbol pre modalitu možnosti ${\displaystyle \Diamond }$ vezme ako súčasť abecedy a symbol pre modalitu nutnosti ${\displaystyle \Box }$ sa pomocou neho definuje ako syntaktická skratka:

${\displaystyle \Box \,\varphi \Leftrightarrow _{\!_{\mathit {def}}}\neg \Diamond \neg \varphi }$

čo opäť vychádza z pozorovania, že nutnosť pravdivosti nejakého tvrdenia, je iba nemožnosť jeho nepravdivosti. Formula ${\displaystyle \Diamond \,\varphi }$ sa číta ako "Je možné, že ${\displaystyle \varphi }$". V takomto jazyku sa dajú úsporne a prehladne zapísať aj veľmi komplikované tvrdenia. Napríklad formula

${\displaystyle \Box \,\Diamond \,\varphi \leftrightarrow \Diamond \,\Box \,\Diamond \,\varphi }$

sa číta "Tvrdenie ${\displaystyle \varphi }$ nutne možné vtedy a len vtedy ak je možné nutne možné."

• FILIT – zdroj, z ktorého pôvodne čerpal tento článok.