Syntaktická skratka

Jeden z možných prístupov k výstavbe výrokovej logiky vychádza z logických spojok implikácie ${\displaystyle \rightarrow }$ a negácie ${\displaystyle \neg }$. Pri tomto prístupe sa jazyk, axiomatizácia a odvodzovacie pravidlá formulujú výhradne v reči týchto dvoch symbolov. To ale neznamená, že v tejto logike nie sú latentne prítomné koncepty konjunkcie, disjunkcie alebo ekvivalencie. Tak napríklad pre výroky ${\displaystyle \varphi }$ a ${\displaystyle \textstyle \psi }$ možno definovať ich konjunkciu ako syntaktickú skratku:

${\displaystyle \varphi \wedge \psi \,\Leftrightarrow _{\!_{\mathit {def}}}\neg (\varphi \rightarrow \neg \psi )}$

a ich dizjunkciu ako syntaktickú skratku:

${\displaystyle \varphi \vee \psi \,\Leftrightarrow _{\!_{\mathit {def}}}\neg \varphi \rightarrow \psi .}$

S pomocou týchto dvoch skratiek možno dalej definovať ekvivalenciu ako syntaktickú skratku:

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi \,\Leftrightarrow _{\!_{\mathit {def}}}(\varphi \rightarrow \psi )\wedge (\psi \rightarrow \varphi ).}$

Napríklad taká jednoduchá, ľahko čitateľná a na prvý pohlad zrozumiteľná teoréma výrokovej logiky akou je komutativita konjunkcie

${\displaystyle (p\wedge q)\leftrightarrow (q\wedge p)}$

by sa bez použitia skratiek písala

${\displaystyle \neg ((\neg (p\rightarrow \neg q)\rightarrow \neg (q\rightarrow \neg p))\rightarrow \neg (\neg (q\rightarrow \neg p)\rightarrow \neg (p\rightarrow \neg q))).}$

V tomto zápise nie je vôbec vidiet myšlienku ktorú toto tvrdenie vyjadruje.

• Definícia