Doxastická logika

Namisto doxastickej modality "Verí sa, že" ktorá priamo referuje na všetky bytosti schopné veriť, sa vo väčšine doxastických kalkulov uvažujú adresné modality typu "Osoba ${\displaystyle a}$ verí, že". V takom prípade sa hovorí o indexovanej doxastickej modalite. Doxastické a epistemické logiky sú obľúbenym nástrojom v umelej inteligencii v teórii multiagentových systémov kde sa s ich pomocou študuje podstata a povaha presvedčenia a viery, tak ako si ju o stave okolitého sveta vytvárajú jednotlivé agenty. V tomto kontexte sa indexované modality čítajú "Agenta ${\displaystyle a}$ verí, že".

Abeceda jazyka väčšiny výrokových doxastických kalkulov obsahuje:

• konečnú alebo spočítateľnú množinu atomárnych symbolov.
• niektoré štandardné spojky výrokovej logiky, ako ${\displaystyle \{\rightarrow ,\leftrightarrow ,\neg ,\vee ,\wedge \}}$.
• a doxastický modálny operátor ${\displaystyle \textstyle \mathrm {B} }$ ak ide o doxastickú logiku bez indexovaných modalít alebo nanajvýš spočítateľne veľa indexovaných operátorov ${\displaystyle \{\mathrm {B} _{a},\mathrm {B} _{b},\mathrm {B} _{c},\ldots \}}$ ak ide o doxastickú logiku s indexovanými modalitami.

Písmeno "B" v názve doxastického operátora poukazuje na anglické "belief", čiže "viera". Správne sformované formule v jazyku doxastickej logiky môžu vyzerať napríklad takto:

• ${\displaystyle \mathrm {B} \,\varphi }$, čo sa číta: "Verí sa, že ${\displaystyle \varphi }$".
• ${\displaystyle \mathrm {B} _{a}\,\varphi }$, čo sa číta: "Osoba ${\displaystyle a}$ verí, že ${\displaystyle \varphi }$".
• V jazyku doxastickej logiky sa dajú aj veľmi zložité tvrdenia zapísať mimoriadne jednoducho a úsporne. Napríklad formula ${\displaystyle \mathrm {B} _{a}\mathrm {B} _{c}\neg \varphi \rightarrow \neg \mathrm {B} _{b}\mathrm {B} _{c}\,\varphi }$ sa môže čítať takto: "Ak osoba ${\displaystyle a}$ verí, že osoba ${\displaystyle c}$ verí, že ${\displaystyle \varphi }$ nie je pravda, potom osoba ${\displaystyle b}$ neverí, že osoba ${\displaystyle c}$ verí, že ${\displaystyle \varphi }$ je pravda".

V epistemickej logike sa pracuje s operátorom ${\displaystyle \textstyle \mathrm {K} }$ alebo s jeho indexovanou verziou ${\displaystyle \textstyle \mathrm {K} _{a}}$, pričom formula

${\displaystyle \mathrm {K} _{a}\,\varphi }$

sa číta "Osoba ${\displaystyle a}$ vie, že ${\displaystyle \varphi }$". Pri výstavbe niektorých epistemických kalkulov sa vychádza z doxastickej logiky a operátor ${\displaystyle \textstyle \mathrm {K} _{a}}$ sa v nich definuje iba ako syntaktická skratka, napríklad predpisom

${\displaystyle \mathrm {K} _{a}\,\varphi \Leftrightarrow _{\!_{\mathit {def}}}\mathrm {B} _{a}\,\varphi \wedge \varphi }$.

Čiže to, že osoba ${\displaystyle a}$ niečo vie, znamená práve tolko, že je o tom osoba ${\displaystyle a}$ presvedčená a navyše to tak naozaj je.

• Epistemická logika

• John-Jules Ch. Meyer: Modal epistemic and Doxastic Logic. pp. 1-38, v "Handbook of Philosophical Logic", Springer 2004 ISBN 1402016441