Matematické kyvadlo

Na hmotný bod pôsobí len tiažová sila a ťahová sila vlákna, ktorá ho udržuje v stálej vzdialenosti od závesu. Veľkosť výslednej sily je

${\displaystyle F=mg\sin \varphi }$,

kde ${\displaystyle g}$ je tiažové zrýchlenie a φ je uhol, o ktorý je vlákno vychýlené z rovnovážnej polohy. Diferenciálna rovnica pre opis pohybu kyvadla je z 2. Newtonovho pohybového zákona

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}=-{\frac {g}{l}}\sin \varphi }$,

kde ${\displaystyle l}$ je dĺžka vlákna. Pokiaľ je maximálna výchylka z rovnovážnej polohy ${\displaystyle \varphi _{\rm {max}}}$ malá, možno funkciu sínus nahradiť lineárnou funkciou

${\displaystyle \sin \varphi \approx \varphi }$.

Diferenciálna rovnica má preto podstatne jednoduchší tvar

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}+{\frac {g}{l}}\varphi =0.}$

Táto rovnica má partikulárne riešenie

${\displaystyle \varphi (t)=\varphi _{m}\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}\cdot t\right)}$,

kde ${\displaystyle \varphi _{m}}$ je počiatočná uhlová výchylka (predpokladáme nulovú počiatočnú rýchlosť, takže je to zároveň maximálna výchylka) a ${\displaystyle t}$ je čas, čo je pohybová rovnica harmonického oscilátora s periódou

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$.

Periódu ovplyvňuje iba dĺžka kyvadla a tiažové zrýchlenie.

• Fyzikálne kyvadlo
• Torzné kyvadlo
• Kyv, kmit, Kmitanie

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Matematické kyvadlo na českej Wikipédii.