Fyzikálne kyvadlo

Fyzikálne kyvadlo alebo reálne kyvadlo je každé teleso, ktoré sa pod vplyvom vlastnej tiaže kýve okolo vodorovnej osi neprechádzajúcej ťažiskom.

Je to otáčavý pohyb telesa okolo pevnej osi, pre ktorý možno použiť rovnicu:

${\displaystyle D=I\varepsilon \quad (1)}$

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}},D=-mga\quad \sin \varphi \quad (2)}$

D – moment tiaže, I – moment zotrvačnosti, g – gravitačné zrýchlenie, a – vzdialenosť osi otáčania od ťažiska, φ – uhol vychýlenia kyvadla z rovnovážnej polohy.

Po dosadení (2) do (1) dostaneme

${\displaystyle I{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=-mga\sin \varphi }$

ak označíme ${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {mga}{I}}}$

dostaneme rovnicu fyzikálneho kyvadla v tvare

${\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=-\omega ^{2}\sin \varphi \quad (3)}$

Jej riešenie je náročné, podstatne sa zjednoduší, ak sa obmedzíme na výchylky φ<5°, potom ak je φ vyjadrené v radiánoch, sin φ≈φ

a rovnicu (3) môžeme previesť na tvar

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}=-\omega ^{2}\varphi \quad (4)}$

Riešením tejto rovnice je ${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}cos(\omega t+\alpha )\quad (5)}$

kde φ₀ je amplitúda kyvadla a α je fázová konštanta. Jej hodnota závisí od voľby začiatku merania, ktorý možno zvoliť tak, aby α=0.

Pre periódu fyzikálneho kyvadla platí

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mga}}}\quad (6)}$