Gravitačné pole

Gravitačná sila patrí medzi sily pôsobiace na diaľku, preto bolo užitočné zaviesť pojem gravitačné pole. Pomáha nám predstaviť si, ako je pôsobenie na diaľku možné – predpokladáme totiž, že na seba nepôsobia vzdialené telesá navzájom, ale že na teleso pôsobí gravitačné pole rozprestierajúce sa všade v priestore.

Toto gravitačné pole okolo seba vytvára každý hmotný objekt. Jeho intenzita vychádza z Newtonovho gravitačného zákona a pre teleso zanedbateľných rozmerov hmotnosti m má vo vzdialenosti r veľkosť

${\displaystyle E=\varkappa {\frac {m}{r^{2}}}}$

Intenzita gravitačného poľa je pritom vektorová veličina, jej veľkosť je daná uvedeným vzťahom, smeruje vždy ku hmotnému bodu, ktorý túto intenzitu vyvolal. Ak do bodu, v ktorom je intenzita gravitačného poľa E umiestníme teleso hmotnosti M, sila naňho pôsobiaca má veľkosť ${\displaystyle F=ME}$. Môžeme si všimnúť, že takto dostávame presne to ako priamym dosadením do Newtonovho zákona. To je, samozrejme, nutnosť. Gravitačné pole je užitočné nie kvôli spôsobu výpočtu, ale kvôli tomu, že nám umožňuje si predstaviť pôsobenie na diaľku.

Ak je gravitačné pole vytvárané viacerými telesami, intenzita poľa v ľubovoľnom bode priestoru je daná vektorovým súčtom intenzít od jednotlivých telies. Teda

${\displaystyle {\vec {E}}={\vec {E}}_{1}+\dots +{\vec {E}}_{n}.}$

Môžeme si navyše všimnúť, že toto pôsobenie na diaľku je okamžité, hneď ako pohneme hmotným objektom, zmení sa gravitačné pole ním vytvárané v celom vesmíre. Toto je v zjavnom rozpore s Einsteinovou teóriou relativity, podľa ktorej sa žiadny signál nemôže šíriť väčšou rýchlosťou než je rýchlosť svetla. Aj to je jeden z dôvodov, prečo považoval Albert Einstein za potrebné opraviť Newtonov gravitačný zákon.

Gravitačné pole je konzervatívne (keď v ňom teleso prenesieme po uzavretej krivke, v celkovom súčte nevykonáme žiadnu prácu), preto je v ňom možné zaviesť potenciál. Potenciál bodového telesa hmotnosti m vo vzdialenosti r má tvar

${\displaystyle \varphi =-{\frac {\varkappa m}{r}}.}$

Následne môžeme vypočítať vzťahom ${\displaystyle E_{POT}=M\varphi }$ aj potenciálnu energiu telesa s hmotnosťou M vo vzdialenosti r od telesa hmotnosti m ako

${\displaystyle E_{POT}=-\varkappa {\frac {mM}{r}}.}$

Znamienko mínus tu vyjadruje príťažlivosť gravitácie (keď sú telesá blízko seba, majú vďaka znamienku mínus v poslednom vzťahu menšiu energiu než keď sú od seba ďaleko). Dosadením hmotnosti a polomeru Zeme do posledného vzťahu zistíme, že teleso s hmotnosťou 1 kilogram má na povrchu Zeme energiu asi -60 miliónov Joulov. Ak „dosadíme“ do vzťahu pre potenciálnu energiu nekonečnú vzdialenosť, dostaneme nulovú energiu. Teda aby sme preniesli teleso s hmotnosťou 1 kilogram z povrchu Zeme niekam veľmi ďaleko (do nekonečna), potrebujeme 60 miliónov Joulov. V prepočte na výhrevnosť uhlia sú to iba 3 kilogramy uhlia. Problémom kozmonautiky preto nie je ani tak táto energia ako to, že okrem užitočného nákladu vynáša raketa do vzduchu aj sama seba (v skutočnosti treba započítať aj odpor vzduchu, rakety totiž dosahujú pomerne veľké rýchlosti aj v hustých vrstvách atmosféry).

Potencionálnu energiu v Jouloch môžeme vyjadriť aj pomocou Planckových jednotiek, keď za gravitačnú konštantu :${\displaystyle \varkappa }$ dosadíme:

${\displaystyle \varkappa ={\frac {l_{p}c^{4}}{E_{p}}},}$

kde

${\displaystyle l_{p}=1,616\cdot 10^{-35}\,\mathrm {m} }$ – Planckova dĺžka,

${\displaystyle c=2,998\cdot 10^{8}\,\mathrm {m} \mathrm {s} ^{-1}}$ – Rýchlosť svetla vo vákuu,

${\displaystyle E_{p}=1,956\cdot 10^{9}\,\mathrm {J} }$ – Planckova energia.

Potom Potenciálna energia, resp. Gravitačná energia bude:

${\displaystyle E_{POT}={\frac {l_{p}}{r}}{\frac {mc^{2}Mc^{2}}{E_{p}}}={\frac {l_{p}}{r}}{\frac {E_{m}E_{M}}{E_{p}}},kde}$

${\displaystyle E_{m}}$ je celková Einsteinova energia telesa m,

${\displaystyle E_{M}}$ je celková Einsteinova energia telesa M,

${\displaystyle r}$ je vzdialenosť telies m a M.