Konvexný obal

Ilustrácia nekonvexnej množiny bodov. Keďže červená čast úsečky spájajúcej body X a Y je mimo množiny (zelená), daná množina je nekonvexná.

Množina bodov je definovaná ako konvexná ak v sebe obsahuje všetky úsečky spájajúce každú dvojicu bodov danej množiny.

Formálne je konvexný obal definovaný ako prienik všetkých konvexných množín obsahujúcich X, alebo ako množina všetkých konvexných kombinácii bodov v X.

Konvexný obal konečnej množiny: analógia s gumičkou

Ako konvexný obal vyzerá si môžeme predstaviť pomocou myšlienkového experimentu. Predstavme si, že X je ohraničená množina bodov na ploche. Ďalej si predstavme každý jej bod ako klinec trčiaci z podlahy. Zoberme elastickú gumičku a natiahnime ju tak aby vnútri nej boli všetky klince. Keď teraz pustíme gumičku, stiahne sa aby minimalizovala svoj obvod a natesno pritom obkolesí všetky klince. Plocha ohraničená touto gumičkou bude konvexný obal množiny bodov X.[1]

Príklad konvexného obalu bodov na ploche

Algoritmický problém hľadania konvexného obalu konečnej množiny bodov v Euklidovských priestoroch je jedným z fundamentálnych problémov geometrie v informatike.

Poznáme množstvo algoritmov na výpočet konvexného obalu konečného počtu bodov alebo rôznych iných geometrických tvarov.

Výpočet konvexného obalu obnáša zostrojenie jednoznačnej a efektívnej reprezentácie požadovaného konvexného útvaru.

Zložitosť jednotlivých algoritmov je zvyčajne odhadovaná v závislosti od ${\displaystyle n}$, čiže počtu vstupných bodov, a ${\displaystyle h}$, čiže počtu výstupných bodov, tj. počet bodov tvoriacich konvexný obal.

Pre body v 2D a 3D existujú algoritmy pracujúce s časovou zložitosťou ${\displaystyle O(n\log h)}$. Pre dimenzie ${\displaystyle d>3}$ poznáme algoritmy, ktorých časová zložitosť je rovná ${\displaystyle O(n^{\lfloor d/2\rfloor })}$, co je zároveň aj optimálne riešenie tohoto problému.[2]

3D konvexný obal

Problém nájdenia konvexných obalov má praktické využitie napríklad v rozpoznávaní vzorov, spracovaní obrazu, štatistikách, geografickom informačnom systéme, teórii hier, konštrukcii fázových diagramov a statickej analýze kódu pomocou abstraktnej interpretácie. Slúži tiež ako nástroj, stavebný blok, pre množstvo ďalších výpočtovo-geometrických algoritmov.

Konvexný obal je bežne známy ako Minimal Convex Polygon (MCP) v etiológii, kde je klasický, hoci možno zjednodušujúci, prístup pri odhadovaní rozsahu teritória zvieraťa na základe bodov, v ktorých bolo zviera pozorované. Extrémne hodnoty môžu spôsobiť, že MCP je nadbytočne veľký, a preto sa často používajú voľnejšie prístupy, ktoré obsahujú len podmnožinu pozorovaní (napr. nájsť MCP, ktorý obsahuje aspoň 95% bodov).[3]