Asociatívnosť

Binárna operácia * je na množine S asociatívna, ak platí:

${\displaystyle \forall x,y,z\in S\qquad (x*y)*z=x*(y*z).}$

Najznámejšie príklady asociatívnych binárnych operácií sú sčítanie (a+b) a násobenie (a.b) reálnych čísel.

${\displaystyle (2+3)+8=5+8=13=2+11=2+(3+8)}$

${\displaystyle (7\cdot 3)\cdot 2=21\cdot 2=42=7\cdot 6=7\cdot (3\cdot 2)}$

Ďalšie ukážky asociatívnych binárnych operácií sú napríklad: sčítanie a násobenie komplexných čísel, sčítanie vektorov, prienik a zjednotenie množín.

Medzi binárne operácie, ktoré nie sú asociatívne, patrí napríklad odčítanie (a-b), delenie (a:b) a umocňovanie (a^b) čísel alebo vektorové násobenie vektorov.

${\displaystyle 2-(3-1)=0\quad \neq \quad -2=(2-3)-1}$.

${\displaystyle 2^{(2^{3})}=2^{8}=256\quad \neq \quad 64=4^{3}=(2^{2})^{3}}$

Pri neasociatívnych operáciách je potrebné buď dôsledne používať zátvorky, alebo sa dohodnúť na implicitnom poradí vykonávaných operácií - potom sa niekedy hovorí o operáciách asociatívnych zľava alebo asociatívnych sprava. Z uvedených príkladov je odčítanie ľavo asociatívne, výraz ${\displaystyle 10-5-3}$ sa chápe ako ${\displaystyle (10-5)-3}$, naopak umocňovanie je asociatívne sprava, ${\displaystyle 2^{3^{4}}=2^{\left(3^{4}\right)}}$ (pretože ľavá asociativita by nebola pri umocňovaní bola užitočná - rovnaký výsledok sa dá vďaka pravidlám pre mocniny zapísať pomocou súčinu exponentov: ${\displaystyle (2^{3})^{4}=2^{3\cdot 4}}$).

• Komutatívnosť
• Distributívnosť
• Aritmetika
• Algebrická štruktúra

• Asociatívnosť v encyklopédii MathWorld angl.

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Asociativita na českej Wikipédii.