Čínska zvyšková veta

Vyriešime najprv špeciálny prípad uvedenej sústavy kongruencií:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{ccl}x&\equiv &0\ ({\text{mod }}m_{1})\\\vdots &\vdots &\vdots \\x&\equiv &0\ ({\text{mod }}m_{i-1})\\x&\equiv &1\ ({\text{mod }}m_{i})\\x&\equiv &0\ ({\text{mod }}m_{i+1})\\\vdots &\vdots &\vdots \\x&\equiv &0\ ({\text{mod }}m_{n})\\\end{array}}\right\}.}$

Nech ${\displaystyle k_{i}=m_{1}m_{2}\ldots m_{i-1}m_{i+1}\ldots m_{n}}$. Čísla ${\displaystyle m_{i}}$ a ${\displaystyle k_{i}}$ sú zrejme nesúdeliteľné, čo znamená, že existujú celé čísla r,s také, že platí

${\displaystyle rk_{i}+sm_{i}=1\!,}$

z čoho vyplývajú kongruencie

${\displaystyle \left.{\begin{array}{ccl}rk_{i}&\equiv &0\ ({\text{mod }}k_{i})\\rk_{i}&\equiv &1\ ({\text{mod }}m_{i})\end{array}}\right\}.}$

Keďže sú ale všetky čísla ${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{i-1},m_{i+1},\ldots ,m_{n}}$ deliteľmi čísla ${\displaystyle k_{i}}$, z uvedenej sústavy dvoch kongruencií vyplýva platnosť sústavy

${\displaystyle \left.{\begin{array}{ccl}rk_{i}&\equiv &0\ ({\text{mod }}m_{1})\\\vdots &\vdots &\vdots \\rk_{i}&\equiv &0\ ({\text{mod }}m_{i-1})\\rk_{i}&\equiv &1\ ({\text{mod }}m_{i})\\rk_{i}&\equiv &0\ ({\text{mod }}m_{i+1})\\\vdots &\vdots &\vdots \\rk_{i}&\equiv &0\ ({\text{mod }}m_{n})\\\end{array}}\right\},}$

čo znamená, že hodnota ${\displaystyle x_{i}:=rk_{i}}$ je riešením uvedeného špeciálneho prípadu systému kongruencií. Z toho už ale triviálnou úvahou vyplýva, že riešenie všeobecného systému kongruencií má tvar

${\displaystyle x:=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{n}x_{n},}$

čo znamená, že existencia riešenia je dokázaná.

Nech ${\displaystyle x,x'}$ sú riešenia uvedenej sústavy kongruencií. Z toho vyplýva, že pre každé i platí

${\displaystyle x-x'\equiv 0\ ({\text{mod }}m_{i}).}$

Inými slovami, hodnota ${\displaystyle m_{i}}$ delí ${\displaystyle x-x'}$ pre každé i. Z toho vyplýva, že aj najmenší spoločný násobok čísel ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{n}}$ delí ${\displaystyle x-x'}$. Ale keďže sú čísla ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{n}}$ po dvoch nesúdeliteľné, má tento najmenší spoločný násobok hodnotu M, čo znamená, že

${\displaystyle x\equiv x'\ ({\text{mod }}M),}$

čo bolo treba dokázať.