Teorie složitosti

Výpočetní problém lze chápat jako nekonečnou sbírku příkladů a jejich řešení pro danou situaci. Zadání vstupu, tzv. instanci problému, nelze zaměňovat s problémem samotným. Problém je třeba řešit bez ohledu na způsob jeho zadání. Například zmíněný test na prvočíslo. Zadáním je číslo a výstupem "ano" nebo "ne". Výstup tedy musí patřičně korespondovat se zadáním.

Nejzákladnějším způsobem je zadání problému v podobě vyslovené věty. Pokud se jedná o následné řešení počítačem je třeba překládat do jazyka počítačů. Matematické úlohy v oblasti grafů například můžeme zadávat pomocí sousednosti v podobě matic.

Rozhodovací problém je jeden ze základních typů problémů teorie složitosti, který má pouze dva možné výstupy ANO či NE. Případně binárně 0 nebo 1. V jazyku, kde členy jazyka jsou případy s odpovědí ANO a ostatní členy s odpovědí NE. Je třeba pomocí algoritmu rozhodnout, jakým způsobem zadaný vstup s tímto jazykem odpovídá. Jestliže algoritmus vrátí ANO pak je vstup přijat, jinak odmítnut. Algoritmus počítá charakteristickou funkci jazyka.

Příkladem rozhodovacího problému je graf a máme rozhodnout zda je to souvislý graf či ne. Formální jazyk je pak množina všech souvislých grafů a pouze je třeba rozhodnout, jak graf reprezentovat v binární podobě.

Formální jazyky (a problémy nad nimi) jsou nad nějakou abecedou, která nemusí být nutně binární.

Problém funkce je výpočetní problém, kde jeden výstup totální funkce platí pro všechny možné vstupy, ale je složitější než výstup rozhodovací funkce, neočekává se pouze výstup ve tvaru ANO nebo NE.

Problém funkce je bohatší na výsledky než rozhodovací problém. Nicméně problém funkce lze přepracovat také na rozhodovací problém a to takto: chceme vynásobit dvě čísla, vstupem rozhodovacího problému je tedy trojice ${\displaystyle (a,b,c)}$ a odpověď ANO se vrací pouze pro trojice, kde platí ${\displaystyle a\cdot b=c}$.

Závisí na množství času pro zpracování algoritmem. Tyto dílčí problémy, kterým může být i prostor potřebný pro řešení zpracovává samostatný algoritmus a vše souvisí také s velikostí vstupu v bitech. Teorie složitosti se zajímá mimo jiné o způsob jakým se algoritmus vypořádá s velikostí vstupu. Například pro řešení souvislého grafu o n hranách v porovnání s grafem o 2n hranách.

Jestliže je vstupem n pak čas potřebný pro výpočet je funkce ${\displaystyle {\mathcal {T}}(n)}$. Například pokud ${\displaystyle {\mathcal {T}}(n)}$ je polynomiální pak hovoříme o polynomiálním algoritmu. Cobhamova teze říká že problém lze vyřešit v polynomiálním čase, pokud pro něj existuje algoritmus, který zpracuje n bitový vstup v čase ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{c})}$, kde c je konstanta závisející na problému, nikoliv jeho vstupu.

Zajímá nás spotřebovaný čas (v krocích), paměť (v bitech/bajtech/buňkách), pakety (rámcově v rámcích), cache (např. počet přístupů) ... A to buď pro konkrétní algoritmus anebo pro nějaký problém, čímž se myslí nejlepší algoritmus pro předložený problém. A protože to chceme obecně pro data velikosti n a nikoli pro konkrétní hodnotu vstupu k (velikosti n), navíc pro všechny možné (počtem nekonečné) velikosti, tak složitost odhadujeme a to obvykle asymptoticky.

A ještě obecnější pojem jsou třídy složitosti.

• Sanjeev Arora, Boaz Barak; BARAK, Boaz. Computational Complexity: A Modern Approach. [s.l.]: Cambridge, 2009. Dostupné online. ISBN 978-0-521-42426-4. (anglicky)Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
• DOWNEY, Rod; FELLOWS, M. Parameterized complexity. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999. Dostupné online. (anglicky)Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
• DU, Ding-Zhu, Ko, Ker-I. Theory of Computational Complexity. [s.l.]: John Wiley & Sons, 2000. ISBN 978-0-471-34506-0. (anglicky)Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
• GOLDREICH, Oded. Computational Complexity: A Conceptual Perspective. [s.l.]: Cambridge University Press, 2008. Dostupné online. (anglicky)Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
• edited by Jan van Leeuwen. Vol.A, Algorithms and complexity. Handbook of theoretical computer science (vol. A): algorithms and complexity. Redakce van Leeuwen Jan. [s.l.]: MIT Press, 1990. ISBN 978-0-444-88071-0. (anglicky)Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
• PAPADIMITRIOU, Christos. Computational Complexity. 1st. vyd. [s.l.]: Addison Wesley, 1994. ISBN 0201530821. (anglicky)Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
• SIPSER, Michael. Introduction to the Theory of Computation. 2nd. vyd. USA: Thomson Course Technology, 2006. ISBN 0534950973. (anglicky)Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.

• COOK, Stephen. An overview of computational complexity. Commun. ACM. ACM, 1983, s. 400–408. ISSN 0001-0782. DOI 10.1145/358141.358144. (anglicky)Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
• FORTNOW, Lance; HOMER, Steven. A Short History of Computational Complexity. Bulletin of the EATCS. 2003, s. 95–133. Dostupné online. (anglicky)Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
• MERTENS, Stephan. Computational Complexity for Physicists. Computing in Science and Engg.. Piscataway, NJ, USA: IEEE Educational Activities Department, 2002, s. 31–47. ISSN 1521-9615. DOI 10.1109/5992.998639. (anglicky)Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.