Schwedlerova věta

Zatížení elementu nosníku - znaménková konvence.

Schwedlerova věta popisuje statickou momentovou rovnováhu části nosníku vymezené dvěma průřezy, jejichž vzdálenost se limitně blíží nule:

${\displaystyle (M+\mathrm {d} M)-M-Q\mathrm {d} x+q{\frac {\mathrm {d} x^{2}}{2}}=0\,,}$

kde ${\displaystyle M}$ a ${\displaystyle Q}$ představují velikost momentové a silové výslednice napětí působících po průřezu nosníku, ${\displaystyle q}$ je velikost spojitého příčného zatížení nosníku, ${\displaystyle x}$ označuje polohu průřezu nosníku po délce nosníku a ${\displaystyle \mathrm {d} }$ je označení diferenciálu. Protože člen ${\displaystyle q{\tfrac {\mathrm {d} x^{2}}{2}}}$ je zanedbatelně malý vzhledem ke zbývajícím členům rovnice momentové rovnováhy, lze psát

${\displaystyle \mathrm {d} M-Q\mathrm {d} x=0\,,}$

respektive

Poslední vztah se označuje jako Schwedlerova věta. Vyplývá z něj, že ohybový moment nabývá extrémních hodnot v místech, kde je posouvající síla ${\displaystyle Q}$ nulová.

Na základě podmínky statické rovnováhy pro příčné zatížení nosníku

${\displaystyle (Q+\mathrm {d} Q)-Q+q\mathrm {d} x=0}$

pro posouvající sílu platí

a Schwedlerovu větu pak lze vyjádřit ve tvaru

Osové zatížení elementu nosníku - znaménková konvence.

Pojem Schwedlerova věta se někdy používá pro vztahy (1) – (3)[2], popřípadě ještě pro vztah mezi osovou silou ${\displaystyle N}$ a spojitým osovým zatížením ${\displaystyle n}$[4], který lze odvodit z podmínky silové rovnováhy ve směru osy nosníku:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} x}}=-n\,.}$

Odkaz na odvození Schwedlerových vět pro nosníky na pružném podkladu.

Schwedlerova kresba užitá při odvození vztahu (4).

Odvození vztahu lze najít v první části Schwedlerovy práce o teorii nosníkových mostních konstrukcí publikovaná v roce 1851, byť v odlišném tvaru [1]:

kde ${\displaystyle X_{i}}$ jsou normálové vnitřní síly působící po výšce průřezu, ${\displaystyle Y_{i}}$ jsou smykové vnitřní síly působící po výšce průřezu a ${\displaystyle y_{i}}$ jsou vzdálenosti působišť sil od spodní strany nosníku. Schwedler při odvození postupoval tak, že nejprve rozdělil nosník myšleným řezem na dvě části, potom sepsal podmínku rovnováhy jedné části nosníku a derivací této podmínky podle ${\displaystyle x}$ dospěl k výše uvedenému vztahu (4).

Zmínku o tom, že Schwedler byl první, kdo poukázal na vztah mezi derivací ohybového momentu a posouvající silou, lze najít v knize Der Bau der Brückenträger z roku 1857[5]. Karl Pearson v knize A History of the Theory of Elasticity and of the Strength of Materials z roku 1893 toto tvrzení zpochybnil[6]. Pearson však neuvedl, kdo s tímto vztahem přišel před Schwedlerem. Stěpan Prokofjevič Timošenko, profesor inženýrské mechaniky na Stanfordově univerzitě [7], ve své knize History of Strength of Materials z roku 1953 tvrdí, že se nenašel dřívější zmínku o Schwedlerem odvozeném vztahu[8].