Rozšířená forma

Strom je souvislý a acyklický graf a jedním počátečním uzlem a několika koncovými uzly.[1][2]
Graf je souvislý, pokud mezi dvěma různými uzly existuje cesta, která tyto dva uzly spojuje.[2]
Graf je acyklický, pokud v něm neexistuje cyklus, tedy pokud neexistuje uzavřená cesta mezi různými uzly.[2]

Počáteční uzel stromu nese označení kořen, v celém grafu je jenom jeden a určuje výchozí bod hry. Například ve hře dáma by se jednalo o počáteční rozestavení kamenů na šachovnici.
Koncové uzly představují možné konce hry, což jsou stavy, do kterých se hra může v závislosti na volbě strategií jednotlivých hráčů dostat a kterými končí.
Ostatní uzly grafu jsou tak zvané rozhodovací uzly, neboli uzly, ve kterých se hráči rozhodují, jakou strategií zvolí v právě probíhajícím kole.

Každá hra v rozvinutém tvaru se může rozložit na tzv. podhry, neboli části původní hry, které jsou sami o sobě také hrami a pro něž hledáme nejlepší řešení. Analyzujeme postupně jednotlivé podhry a jejich řešením se na konci dostaneme k výsledku celé tahové hry.[1]

Hru v rozvinutém tvaru neřešíme běžným způsobem od počátku stromu – kořene ke koncovým uzlům, ale opačným způsobem. Vycházíme z koncového uzlu a snažíme se najít optimální řešení podhry. Když jej nalezneme, stává se koncovým uzlem toto řešení a přecházíme do další podhry, kde porovnáváme toto řešení s dalšími koncovými uzly. Tímto způsobem projdeme všechny podhry, nalezneme jejich nejlepší řešení a postupně se dostaneme až k výchozímu uzlu – kořenu stromu. Tím nalezneme řešení celé hry.[1]

Vycházíme z předpokladu, že racionální hráč volí při svém rozhodování pro něj nejlepší možnou strategii. Při hledání optimálního řešení podhry hledáme tzv. dokonalou rovnováhu podhry pro všechny rozhodovací situace.

Dokonalá rovnováha podhry ukazuje, kterou strategii by měli hráči hrát v jednotlivých rozhodovacích uzlech, aby pro ně tato strategie byla optimální a také, do kterých uzlů by se racionální hráči vůbec neměli dostat. Optimální strategie je taková, která hráči přináší nejvyšší výhru (užitek).[3]

Ruská ruleta představuje jeden z typických příkladů rozšířené formy hry. Hra předpokládá dva hráče, šestiranný revolver, jeden náboj a dvě strategie – střílet, vzdát se. Pokud se hráč vzdá, okamžitě prohrává hru. Pokud střílí, má dvě možnosti – buď přežije, nebo zemře. Pokud přežije, přichází na řadu druhý hráč a má opět volbu mezi možností vzdát se a střílet. Na rozdíl od předchozího příkladu „Stonožky“, v Ruské ruletě není užitek hráčů vyjádřen penězi, ale pouze jejich vlastním pocitem, který budou mít při jednotlivých výsledcích prohra, výhra, smrt. Podle výše užitku se může řešení hry a optimální strategie měnit. Pro řešení předpokládejme užitky v tabulce.

Řešení zobrazuje obrázek 4. Kromě prvků představených v předchozím příkladu obsahuje strom hry i tzv. náhodnou složku při volbě strategie střílet. Pokud hráč zvolí tuto strategii, je pravděpodobnost p, že zemře a p-1, že přežije. Pravděpodobnost je uvedena na hranách grafu. Náhodnou složku představují uzly, kde nedochází k rozhodování hráčů, ale k rozhodování náhody.

obrázek 4 - Ruská ruleta

Označíme-li

• užitek náležící náhodné složce ${\displaystyle (U_{1};U_{2})}$, kde ${\displaystyle U_{1}}$ je užitek hráče 1 a ${\displaystyle U_{2}}$ užitek hráče 2,
• pravděpodobnosti stavů, které mohou nastat ${\displaystyle p_{1}}$ a ${\displaystyle p_{2}}$, přičemž musí platit ${\displaystyle p_{1}+p_{2}=1}$,
• užitky nastalých stavů ${\displaystyle (U_{11};U_{12})}$ pro první stav a ${\displaystyle (U_{21};U_{22})}$ pro druhý stav,

můžeme výpočet definovat následovně:

${\displaystyle U_{1}=U_{11}p_{1}+U_{21}p_{2}}$

${\displaystyle U_{2}=U_{12}p_{1}+U_{22}p_{2}}$

Tento vzorec platí, pokud uvažujeme, že náhodná složka vybírá mezi dvěma výslednými stavy. Nechť n = {1,2,…, n} je množina možných výsledných stavů, potom lze vyjádřit výpočet užitků náhodné složky pro dva hráče takto:

${\displaystyle U_{1}=\sum _{i=1}^{n}U_{i1}p_{i}}$

${\displaystyle U_{1}=\sum _{i=1}^{n}U_{i2}p_{i}}$

Nechť počet hráčů je m={1,2,…, m} a množina výsledných stavů n={1,2,…, n}, potom zřejmě platí:

${\displaystyle U_{j}=\sum _{i=1}^{n}U_{ij}p_{i}\quad j=1,2,...,m}$

za podmínky

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}=1}$

Z obrázku vyplývá, že při výše zadaných užitcích budou hráči volit strategii střílet až do konce hry. Ve chvíli, kdy bylo z revolveru již 5krát vystřeleno a oba hráči dosud žijí, je 100% pravděpodobnost, že šestý výstřel znamená pro hráče, který je na tahu, smrt. Protože pro hráče 2 (hráč na tahu) znamená smrt i prohra stejný užitek, vybírá mezi možnostmi náhodně – obě jsou stejně pravděpodobné. Pokud by mu přinášela větší užitek možnost smrt, volil by smrt, pokud prohra, volil by prohru.

Hry v rozvinutém tvaru se využívají pro matematický rozbor salónních her, jako například dříve zmíněná dáma, šachy, poker, kostky, hra NIM a podobně.

Terminologie teorie her uvádí dva termíny důležité pro hry v rozvinutém tvaru – hra s dokonalou informací a hra s nedokonalou informací.

Je taková hra, kde zná každý hráč po celou dobu stav, ve kterém se hra nachází a zároveň zná strategie své i svého protihráče. Příkladem může být například dáma, kde oba hráči znají aktuální pozici kamenů na šachovnici i všechny možné tahy, které může protihráč zahrát.[4]

Je taková hra, kde nedokáže přesně určit, ve které pozici se hra nachází. Hra s nedokonalou informací jsou například karetní hry, kde hráč nemůže přesně vědět, jaké karty drží jeho protihráč.[4]

Hra se označuje za konečnou, pokud má konečný počet tahů a v každém tahu může hráč volit z konečného počtu strategií.[4]

Při znalosti předchozích pojmů lze definovat následující větu:

Z definice vyplývá řešení následujících příkladů. Příklady vycházejí z publikace Úvod do teorie her[4].

Hra NIM je hra pro libovolný počet hráčů. Hráči postupně, po tazích, odebírají herní kameny (např. sirky) z několika hromádek a to tak, že musí vzít vždy minimálně jeden kámen. Maximální množství odebraných kamenů není omezeno, musí však být splněna podmínka, že hráč, který je na tahu a kameny odebírá, smí odebírat pouze z jedné hromádky. Hráč, který odebere poslední kámen, prohrál. Příklad uvažuje hru typu 2x2, tedy dva hráče a dvě hromádky, v každé z nich dva kameny. Strom hry, společně s řešením hry, znázorňuje obrázek 5.

obrázek 5 - hra NIM

Na hře NIM je dobře vidět, že výsledek hry v rozšířeném tvaru můžeme znát ještě před samotným začátkem hry. Při hře NIM 2x2 je před započetím hry oběma hráčům jasné, že pokud se budou chovat racionálně, hru vždy vyhraje hráč 2. Hráč 1 vždy prohraje. Prvním tahem může rozhodnout o tom, kterým ze dvou způsobů chce prohrát. Nikdy však nemůže vyhrát, pokud některý z hráčů neudělá chybu. Hra NIM 2x2 má dvě ryzí strategie.

Šachy jsou v principu stejná hra jako hra NIM. Ještě před samotným začátkem hry je teoreticky možné vypočítat, kdo hru vyhraje. Vzhledem k tomu, že už po prvním tahu obou hráčů může na šachovnici nastat 400 možných kombinací figur (400 uzlů) a počet kombinací se s každým dalším tahem zvyšuje, je výpočetní složitost úlohy natolik vysoká, že nelze sestavit úplný strom hry a pomocí zpětné indukce zjistit řešení hry. Protože jsou šachy konečná hra s dokonalou informací, můžeme s určitostí říct, že hra má řešení. Toto řešení ještě nikdy nebylo spočítáno, ale lze s jistotou tvrdit, že platí jedna ze tří variant[5]:

1. Bílý má vítěznou strategii
2. Černý má vítěznou strategii
3. Hra končí remízou

Na principu tvorby stromu hry je založena logika počítačových her šachy, kde jedním hráčem je počítač a druhým člověk. Počítač se po každém soupeřově tahu snaží vypočítat nejlepší možné řešení pomocí sestavování stromu hry. Z důvodu nedostatečné časové i výpočetní kapacity počítače nesestavují celý strom, ale vždy jen jeho část a v té hledají optimální strategii. Počítačový výpočet optimální strategie může být modifikován například tak, že počítače přiřadí každé figuře určitou hodnotu podle toho, jaký má vliv na další vývoj hry. Poté se snaží najít nejlepší možnou strategii v části stromu v závislosti na výši hodnot figur.

Hra v rozvinutém tvaru, stejně tak, jako ostatní hry z oboru teorie her, nemusí hledat řešení pouze v případě opravdových her, jako Ruská ruleta, NIM, šachy a podobně. Teorii lze použít i při řešení ekonomického problému. Představme si situaci, kdy na trhu již operují určité firmy a další firmy zvažují vstup na tento trh. Pro zjednodušení budeme předpokládat jednu stávající firmu (Firma 1) a jednu novou (Firma 2). Užitky obou firem jsou uvedeny níže.

Firma 1 ví, že vstup na trh zvažuje nová firma a rozhoduje se, zda zvolit pasivní nebo aktivní strategii. Pasivní strategie znamená, že firma 1 nebude proti vstupu firmy 2 nijak bojovat a přijde tak o část svého zisku. Aktivní strategie naopak znamená, že se firma 1 rozhodne pro boj proti vstupu druhé firmy na trh. Tento boj představuje pro firmu 1 určité náklady, které sníží její výsledný užitek. Firma 2 se rozhoduje, jestli vstoupit nebo nevstoupit na trh a zvažuje při tom i rizika spojená s bojem firmy 1, která by v případě vstupu firmy 2 snížila její výsledný užitek.

V této hře hraje důležitou roli posloupnost rozhodnutí (tahů) firem – která firma učiní rozhodnutí první a která ji bude následovat. Existují tři možné situace:

• Obě firmy se rozhodují současně – jedná se o hru v normálním tvaru, a proto se bude řešit pomocí matice jako hra s nekonstantním součtem.
  Nashovou rovnováhou a tedy optimální strategií v této hře je žádná akce firmy 1 a vstup firmy 2.

• Firma 1 se rozhoduje první – hra v rozvinutém tvaru zobrazená pomocí stromu hry.
  Dokonalou rovnováhu hry označují tučné spojnice. Firma 1 začne bojovat a firma 2 na trh nevstoupí. Optimální strategie pro prvního hráče je boj, pro druhého hráče žádná akce.

obrázek 6 - Konflikt dvou firem - Firma 1 první na tahu

• Firma 2 se rozhoduje první – hra v rozvinutém tvaru zobrazená pomocí stromu hry
  Pokud první tah učiní firma 2, optimální strategie hry bude vstup firmy 2 na trh a žádná akce firmy 1. Dokonalá rovnováha je opět vyznačena tučně.

obrázek 7 - Konflikt dvou firem - Firma 2 první na tahu

Příklad ukazuje, že výsledek hry a volba strategií záleží na pořadí, ve kterém hráči provádí své tahy.