Pythagorova věta o energii

Foton a některé další částice mají nulovou klidovou hmotnost. Dosadíme-li ${\displaystyle m=0}$ do Pythagorovy věty o energii, vztah se výrazně zjednoduší:

${\displaystyle E=pc\,.}$

Částice tedy nese hybnost, která je přímo úměrná její energii. Další významný důsledek lze nahlédnout, uvážíme-li relativistickou definici hybnosti:

${\displaystyle \mathbf {p} ={E \over c^{2}}\mathbf {v} \,,}$[pozn 2]

kde ${\displaystyle \mathbf {p} }$ a ${\displaystyle \mathbf {v} }$ jsou vektory hybnosti, resp. rychlosti částice. Dosadíme-li do této rovnice energii ${\displaystyle E=pc}$, zjistíme, že je splněna pouze tehdy, je-li velikost rychlosti rovna ${\displaystyle c}$. Jinými slovy částice s nulovou klidovou hmotností se musí vždy vůči libovolnému pozorovateli pohybovat rychlostí ${\displaystyle c}$.

Stejně jako v předchozí sekci dosadíme Pythagorovu větu o energii do vztahu pro velikost hybnosti:

${\displaystyle p=v{E \over c^{2}}={v \over c^{2}}{\sqrt {m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}}\,.}$

Je-li rychlost ${\displaystyle v}$ menší než ${\displaystyle c}$, můžeme z tohoto vztahu vyjádřit hybnost:

${\displaystyle p=\gamma mv\,,}$

kde ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ je Lorentzův faktor. Hmotná částice se tedy bude pohybovat vždy rychlostí menší než ${\displaystyle c}$, i když jí dodáme libovolně velkou hybnost.

Na druhou stranu vezmeme-li definici hybnosti a dosadíme do Pythagorovy věty o energii:

${\displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+\left(v{E \over c^{2}}\right)^{2}c^{2}\,,}$

můžeme z této rovnice vyjádřit celkovou energii částice:

${\displaystyle E=\gamma mc^{2}\,.}$

Opět je vidět, že částice s nenulovou hmotností se bude pohybovat vždy pomaleji než ${\displaystyle c}$, i když jí dodáme libovolnou energii.
Pokud by se částice nepohybovala, můžeme za hybnost dosadit nulu a vychází nám ${\displaystyle E=mc^{2}}$.

Kinetická energie je rozdíl mezi energií částice v pohybu a v klidu:

${\displaystyle E_{k}=E-E_{0}={\sqrt {E_{0}^{2}+\left(pc\right)^{2}}}-E_{0}\,.}$

Nemá-li částice klidovou hmotnost (${\displaystyle E_{0}=0}$), je ${\displaystyle E_{k}=E}$. V tomto smyslu je energie částice s nulovou klidovou hmotností „čistě“ kinetická.

Pro částice s ${\displaystyle E_{0}\not =0}$ je kinetická energie v souladu s předchozími vztahy rovna:

${\displaystyle E_{k}=E-E_{0}=\gamma mc^{2}-mc^{2}=mc^{2}\left(\gamma -1\right)\,.}$

Taylorovým rozvojem tohoto výrazu lze ukázat, že při malých rychlostech dostatečně přesně platí vztah ${\displaystyle E_{k}={1 \over 2}mv^{2}}$, což souhlasí s klasickou dynamikou popsanou Newtonovými zákony pohybu. Při velkých kinetických energiích se však rychlost pouze blíží ${\displaystyle c}$ a nikdy tuto hranici nepřekročí.

Všechny vztahy ve speciální teorii relativity lze přirozeně zapisovat pomocí čtyřvektorů. Jedním z nejdůležitějších je čtyřhybnost, která spojuje energii a hybnost částice. Vypočteme-li skalární součin tohoto 4-vektoru se sebou samým, obdržíme právě Pythagorovu větu o energii.