Relativistická hmotnost

Uvažujme nepružnou srážku dvou těles popsanou ve dvou vztažných soustavách popsaných kartézskými souřadnicemi, přičemž boost, jehož rychlost je ${\displaystyle \omega }$, probíhá podél osy x. Rozepíšeme zákon zachování energie a zákon zachování hybnosti v nečárkované a čárkované soustavě jako

${\displaystyle m_{1}+m_{2}=M,\,}$

${\displaystyle v_{1}m_{1}+v_{2}m_{2}=VM,\,}$

${\displaystyle m'_{1}+m'_{2}=M',\,}$

${\displaystyle v'_{1}m'_{1}+v'_{2}m'_{2}=V'M'.\,}$

A doplníme relativistické vztahy pro skládání rychlostí

${\displaystyle v'_{1}={\frac {v_{1}-\omega }{1-{\frac {v_{1}\omega }{c^{2}}}}},}$

${\displaystyle v'_{2}={\frac {v_{2}-\omega }{1-{\frac {v_{2}\omega }{c^{2}}}}},}$

${\displaystyle V'={\frac {V-\omega }{1-{\frac {V\omega }{c^{2}}}}}.}$

Pro jednoduchost popišme srážku ze dvou vztažných soustav, ve kterých je vždy jedno těleso v klidu. V první vztažné soustavě ${\displaystyle S}$ volíme ${\displaystyle v_{1}=0}$ (první těleso je v klidu a druhé přilétá rychlostí ${\displaystyle v_{2}}$ zleva). Ve druhé vztažné soustavě ${\displaystyle S'}$ má být druhé těleso v klidu, a proto musí platit, že

${\displaystyle v_{2}=\omega }$

Při této transformaci v soustavě ${\displaystyle S'}$ pozorujeme, že druhé těleso je v klidu a první letí rychlostí ${\displaystyle \omega }$ vlevo.

${\displaystyle v_{1}'=-\omega }$

${\displaystyle v_{2}'=0}$

Nyní dosadíme zákon zachování hmotnosti do zákonu zachování hybnosti v obou soustavách a získáme

${\displaystyle v_{1}m_{1}+v_{2}m_{2}=V(m_{1}+m_{2}),\,}$

${\displaystyle v'_{1}m'_{1}+v'_{2}m'_{2}=V'(m_{1}'+m_{2}').\,}$

Po dosazení rychlostí se rovnice zjednoduší na tvar

${\displaystyle \omega m_{2}=V(m_{1}+m_{2}),\,}$

${\displaystyle -\omega m'_{1}=V'(m_{1}'+m_{2}').\,}$

Z první rovnice vyjádříme ${\displaystyle V}$ a do druhé dosadíme transformační vztah pro ${\displaystyle V'}$

${\displaystyle V={\frac {\omega m_{2}}{m_{1}+m_{2}}},\,}$

${\displaystyle -\omega m'_{1}={\frac {V-\omega }{1-{\frac {V\omega }{c^{2}}}}}(m_{1}'+m_{2}').\,}$

Nyní dosadíme první rovnici do druhé a získáme

${\displaystyle -\omega m'_{1}={\frac {{\frac {\omega m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}-\omega }{1-{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}}(m_{1}'+m_{2}').\,}$

Tato rovnice říká, jak souvisí hmotnost těles v různých soustavách s vzájemnou rychlostí těchto soustav ${\displaystyle \omega }$, a proto následující úpravy budou mířit na separaci hmotností a rychlostí.

${\displaystyle -\omega m'_{1}={\frac {\frac {-\omega m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}{\frac {m_{1}+m_{2}-m_{2}{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}{m_{1}+m_{2}}}}(m_{1}'+m_{2}')}$

${\displaystyle -\omega m'_{1}={\frac {-\omega m_{1}}{m_{1}+m_{2}-m_{2}{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}}(m_{1}'+m_{2}')}$

${\displaystyle m'_{1}={\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}\left(1-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)}}(m_{1}'+m_{2}')}$

${\displaystyle m_{1}+m_{2}\left(1-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)={\frac {m_{1}}{m_{1}'}}(m_{1}'+m_{2}')}$

${\displaystyle m_{2}\left(1-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)={\frac {m_{1}}{m_{1}'}}m_{2}'}$

${\displaystyle 1-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m_{1}m_{2}'}{m_{1}'m_{2}}}}$

Nyní zaveďme ${\displaystyle m_{01}}$ klidovou hmotnost prvního tělesa a ${\displaystyle m_{02}}$ klidovou hmotnost druhého tělesa. (Klidovou hmotnost tělesa pozoruje pozorovatel, který je vůči tělesu v klidu.) V našem případě tedy můžeme psát, že

${\displaystyle m_{1}=m_{01}}$

${\displaystyle m_{2}'=m_{02}}$

Nyní předpokládejme, že se hmotnost mění jen v závislosti na velikosti rychlosti daného objektu vůči pozorovateli. To je dobře odůvodněný předpoklad, protože kvůli homogenitě prostoru nemůže hmotnost záviset na poloze a kvůli rotační symetrii ani na směru rychlosti. Zkusme modifikovat hmotnost násobením neznámou funkcí ${\displaystyle f(v)}$ závisející na velikosti rychlosti tělesa vůči pozorovateli ${\displaystyle v}$. V našem případě proto můžeme psát

${\displaystyle m_{2}=m_{02}f(\omega ),}$${\displaystyle m_{1}'=m_{01}f(\omega ).}$Protože v soustavě ${\displaystyle S}$ se pohybuje druhé těleso rychlostí o velikosti ${\displaystyle \omega }$ a v soustavě ${\displaystyle S'}$ se pohybuje první těleso rychlostí o velikosti ${\displaystyle \omega }$.

Dosazením vztahů pro hmotnosti do původní rovnice získáme

${\displaystyle 1-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m_{01}m_{02}}{m_{01}m_{02}f(\omega )^{2}}}}$

${\displaystyle f(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Těleso, které se pohybuje vůči pozorovateli rychlostí ${\displaystyle v}$ má proto z pohledu pozorovatele hmotnost o velikosti

${\displaystyle m=m_{0}f(v)={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=m_{0}\gamma }$

kde jsme v původně neznámé funkci škálující hmotnost tělesa rozpoznali Lorentzův faktor.