Odstranění šumu

Ukázka odstranění šumu ze signálu prahováním koeficientů vlnkové transformace.

Odstranění šumu a vyhlazení signálu za pomoci prahování vlnkových koeficientů je jednou z nejznámějších a nejjednodušších aplikací vlnkové transformace.

Nejprve se spočítá diskrétní vlnková transformace signálu. Pro prahování koeficientů je možno použít jakýkoli postup. Nejčastěji se ale používá tvrdé (hard) či měkké (soft) prahování.

Při tvrdém se koeficienty menší než práh ${\displaystyle \lambda }$ nahradí nulami.

${\displaystyle \rho _{\lambda }^{hard}(x)={\begin{cases}x\quad &|x|\geq \lambda \\0\quad &|x|<\lambda \end{cases}}}$

U měkkého se navíc ostatní posunou o velikost prahu směrem k nule (to má za následek větší ztrátu energie signálu).

${\displaystyle \rho _{\lambda }^{soft}(x)={\begin{cases}x-\lambda \quad &x\geq \lambda \\x+\lambda \quad &x\leq -\lambda \\0\quad &|x|<\lambda \end{cases}}}$

Volba prahu závisí na použitých vlnkách i charakteru šumu a může být odlišná v různých měřítkách. Pro normální rozdělení ${\displaystyle \mathrm {No} (0,\sigma ^{2})\,}$ šumu se používá

${\displaystyle \lambda =\sigma {\sqrt {2\ln N}}}$,

kde ${\displaystyle N}$ je počet vzorků signálu. Je třeba určit rozptyl šumu. D. L. Donoho a I. M. Johnstone odvodili[1]

${\displaystyle \sigma ={\frac {\operatorname {median} (|d_{1}|)}{0{,}6745}}}$, kde ${\displaystyle d_{1}}$ jsou vlnkové koeficienty na nejjemnější úrovni rozkladu.

Pro prahování se signál zpět složí pomocí inverzní DWT.

V digitálním obraze rozeznáváme nejčastěji dva typy šumu:

• náhodný šum, také nezávislý šum, je způsoben například vadnými CCD elementy (příkladem tohoto typu šumu je šum typu „sůl a pepř“)
• Gaussův šum, také závislý šum, kde je každý pixel obrazu mírně pozměněn

U barevných obrazů je třeba vhodně zvolit barevný model, na jehož složky budou metody aplikovány. Metody odstranění šumu můžeme rozdělit následovně:

Podle frekvenční charakteristiky šumu mají tyto lineární filtry často charakter dolní propusti. Filtry lze na obraz aplikovat pomocí konvoluce.

Gaussův filtr

Ukázka konvoluční matice Gaussovy funkce pro okolí 10 pixelů a směrodatnou odchylku 1,8.

Jedna z metod odstranění šumu je konvoluce s maskou, která se skládá z elementů určených Gaussovou funkcí. Tato metoda vede k rozmazání obrázku, což může být pro další zpracování obrazu problém (například pro detekci hran). Je to efektivní technika k potlačení Gaussova šumu.

2D Gaussova funkce:

${\displaystyle G(x,y)={{1} \over {2\pi \sigma ^{2}}}e^{-{{X^{2}+y^{2}} \over {2\sigma ^{2}}}}}$

průměrování

Hodnota každého pixelu je určena průměrem jeho a jeho nejbližších sousedů. Opět vede k rozmazání obrazu. Jako Gaussův filtr je efektní k potlačení Gaussova šumu. Je to vlastně speciální případ Gaussova filtru s nekonečnou směrodatnou odchylkou (${\displaystyle \sigma \rightarrow \infty }$).

dolní propust

Ukázka konvoluční matice dolní propusti pro okolí 10 pixelů a propouštějící třetinu nejnižších frekvencí.

Obecná dolní propust propustí jen nízké frekvence (šum je zpravidla vysokofrekvenční). Je možné ji aplikovat buď postupně přímo na obraz pomocí konvoluce s malou konvoluční maticí (získanou například inverzní Fourierovou transformací z frekvenční charakteristiky filtru) nebo násobením celé frekvenční charakteristiky filtru s celou frekvenční charakteristikou obrazu (získanou například Fourierovou transformací).

mediánový filtr

Příkladem nelineárního filtru je mediánový filtr nebo rank-order filtry. Mediánový filtr vezme pro každý pixel obrazu jeho okolí. Ze všech těch pixelů vybere medián, který se stává novou hodnotou zpracovávaného pixelu. Rank-order filtr pracuje podobně, ale nevybírá ze seřazených pixelů okolí medián (ležící přesně uprostřed) ale jinou hodnotu (ležící například ve dvou třetinách). V případě barevného obrazu se pixely porovnávají podle váženého průměru kanálů (například podle intenzity, luma, luminance). Mediánový filtr je vhodný k odstranění náhodného šumu.

konzervativní vyhlazení

Dalším nelineárním filtrem je tzv. „konzervativní vyhlazení“. Jedná se o rychlou metodu určenou k odfiltrování izolovaných pixelů s výjimečně vysokou nebo nízkou intenzitou (například šum typu sůl a pepř). Tato metoda se snaží nejprve detekovat vadný pixel. Tedy nejdříve nalezne minimální a maximální hodnotu intenzity z okolí pixelu, jehož hodnotu chceme spočítat. Jestliže je hodnota tohoto centrálního pixelu mezi minimem a maximem, je pixel předán do výstupního obrazu beze změny. V opačných případech by měl být pixel nahrazen novou hodnotou, jež je odvozena z nepostižených sousedních pixelů. Například v případě, že je jeho hodnota menší než minimum, je nahrazen tímto minimem. Naopak, je-li jeho hodnota větší než maximum, je nahrazen maximem.

prahování vlnkových koeficientů

Obraz je rozložen diskrétní vlnkovou transformací a na získané koeficienty je aplikování nejčastěji tvrdé nebo měkké prahování. Metoda je popsána výše.

další nelineární filtry

Mezi nelineární filtry patří také bilaterální filtr, který při odstranění šumu zachovává ostré hrany, nebo metody založené na Vector-Valued Image Regularization with PDEs[2].

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Odstranění šumu na Wikimedia Commons
• (anglicky) http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/filtops.htm — Digital Filters, materiály Roberta Fishera ze School of Informatics, The University of Edinburgh