Podmíněnost matice

Podmíněnost matice nebo též číslo podmíněnosti matice, je číslo, které kvalitativně charakterizuje danou matici a do značné míry determinuje chování (zejména přesnost) řady numerických maticových algoritmů.

Čtvercová regulární matice

Nechť $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ je čtvercová regulární matice, pak číslo

\kappa _{p}(A)=\|A\|_{p}\|A^{-1}\|_{p},

kde $\|\cdot \|_{p}$ značí libovolnou maticovou normu, nazveme podmíněností matice $A$ vzhledem k této normě (v praxi se nejčastěji používá $\|\cdot \|_{2}$ spektrální a $\|\cdot \|_{F}$ Frobeniova norma).

Uvažujme podmíněnost indukovanou spektrální normou. Je-li matice $A$ symetrická pozitivně definitní (tj. normální matice s kladnými vlastními čísly), pak

\kappa _{2}(A)={\frac {\lambda _{\max }(A)}{\lambda _{\min }(A)}},

kde podíl vpravo je podíl největšího a nejmenšího vlastního čísla matice $A$ .

Je-li regulární matice $A$ normální (tedy $A^{T}A=AA^{T}$ ), pak

\kappa _{2}(A)={\frac {\max\{|\lambda |;\lambda \in \mathrm {sp} (A)\}}{\min\{|\lambda |;\lambda \in \mathrm {sp} (A)\}}},

kde $\mathrm {sp} (A)$ je spektrum matice $A$ ; podmíněnost je tedy podíl v absolutní hodnotě největšího a v absolutní hodnotě nejmenšího vlastního čísla matice $A$ .

Pro obecnou čtvercovou regulární matici $A$ je podmíněnost

\kappa _{2}(A)={\frac {\sigma _{1}}{\sigma _{n}}}={\frac {\sigma _{\max }(A)}{\sigma _{\min }(A)}},

dána podílem největšího a nejmenšího singulárního čísla matice $A$ (singulární čísla normálních matic jsou absolutní hodnoty vlastních čísel).

Zřejmě obecně platí

\kappa _{2}(A)=\kappa _{2}(A^{T})=\kappa _{2}(A^{-1})=\kappa _{2}(\alpha A),\qquad \kappa _{2}(AA^{T})=\kappa _{2}(A^{T}A)=\kappa _{2}(AA)=\kappa _{2}^{2}(A).

Ortogonální matice

Je-li matice $A$ ortogonální, pak zřejmě $\kappa _{2}(A)=1$ . Obecně platí

A^{T}A=AA^{T}=\alpha ^{2}I_{n}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \kappa _{2}(A)=1,

kde $\alpha \neq 0$ .

Vzdálenost od nejbližší singulární matice

Je-li matice $A$ regulární, a matice $E$ je nějaká její perturbace tak, že

{\frac {\|E\|_{2}}{\|A\|_{2}}}<{\frac {1}{\kappa _{2}(A)}}

pak je i matice $A+E$ regulární. Důkaz jen naznačíme. Podmínku

{\frac {\|E\|}{\|A\|}}<{\frac {1}{\kappa (A)}}={\frac {1}{\|A\|\|A^{-1}\|}}

lze zapsat ve tvaru $\|A^{-1}\|\|E\|<1$ . Místo tvrzení původního lze snadno dokázat tvrzení opačné: je-li $A+E$ singulární, pak $\|A^{-1}\|\|E\|\geq 1$ . Nechť tedy existuje $v\neq 0$ tak, že $(A+E)v=0$ , tedy $v=-A^{-1}Ev$ , pak

\|v\|=\|A^{-1}Ev\|\leq \|A^{-1}\|\|E\|\|v\|.

Protože $\|v\|\neq 0$ můžeme nerovnost dělit $\|v\|$ a dostáváme shora uvedené tvrzení. (Všimněme si, že důkaz a tedy i tvrzení platí pro libovolnou multiplikativní maticovou normu a jí indukovanou podmíněnost, nejen pro normu spektrální.)

Podmíněnost (respektive její převrácená hodnota) tedy vyjadřuje vzdálenost od nejbližší singulární matice.

Podmíněnost versus determinant

Pro rozlišení singulárních a regulárních matic se často používá determinantu matice. Velkou nevýhodou determinantu, ve srovnání s číslem podmíněnosti, je fakt, že je-li determinant nenulový ale velmi blízký nule, o vzdálenosti dané matice od nejbližší matice singulární to nic nevypovídá. V praktických výpočtech je tudíž determinant naprosto nepoužitelný. Uvažujme pro příklad skalární násobek jednotkové (tedy ortogonální a bezesporu regulární) matice

A=\alpha I_{n}\in \mathbb {R} ^{n\times n},\qquad \alpha =10^{-1},\;n=1000,

pak

\det(A)=\alpha ^{n}=10^{-1000},\qquad \kappa _{2}(A)={\frac {\alpha }{\alpha }}=1.

V běžně používané konečné aritmetice s plovoucí řádovou čárkou (double, $\epsilon _{M}\approx 2.22\times 10^{-16}$ ) je determinant této matice nulový.

Podmíněnost singulární matice jako limita

Nechť $A(t)$ je matice jejíž koeficienty spojitě závisí na parametru $t$ a nechť všechna singulární čísla matice $A(t)$ jsou jednoduchá pro všechna $t$ (pak jsou též spojitými funkcemi parametru $t$ ). Nechť je matice $A(t)$ regulární všude v nějakém okolí bodu $t=t_{0}$ a zároveň $A(t_{0})$ je singulární. Pak

\lim _{t\rightarrow t_{0}}\kappa _{2}(A(t))=+\infty .

Obdélníková matice

Uvažujme obdélníkovou matici $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ , která má plnou hodnost, tedy $\mathrm {rank} (A)=r\equiv \min\{m,n\}$ . Podmíněnost je pak opět dána podílem největšího a nejmenšího singulárního čísla

\kappa _{2}(A)={\frac {\sigma _{1}}{\sigma _{r}}}={\frac {\sigma _{\max }(A)}{\sigma _{\min }(A)}}=\|A\|_{2}\|A^{\dagger }\|_{2},

kde $A^{\dagger }$ je Moore-Penroseova pseudoinverze matice $A$ .

Podmíněnost obecné matice lze analogicky definovat pomocí součinu normy matice a normy její Moore-Penroseovy pseudoinverze, tedy jako podíl největšího a nejmenšího nenulového singulárního čísla. Takto definovaná podmíněnost je vždy konečné číslo, a je tedy různá od podmíněnosti shora uvedené čtvercové singulární matice, která byla zavedena limitním přechodem. V numerické analýze se ovšem velmi často vyskytují matice regulární, nebo alespoň plné hodnosti. Konečná podmíněnost zcela obecné matice je potřeba řidčeji.

Reference

J. Duintjer Tebbens, I. Hnětynková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty, základní metody. Matfyzpress 2012. ISBN 978-80-7378-201-6.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.