Pellova rovnice

Pellova rovnice je označení diofantické rovnice ve tvaru:

${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1\,}$

Grafické znázornění řešení Pellovy rovnice pro ${\displaystyle N=2}$ s vyznačenými šesti z celočíselných řešení

kde ${\displaystyle N}$ je kladné celé číslo. Často je navíc přidáván požadavek, aby ${\displaystyle N}$ bylo nečtvercové, neboť ve variantě s čtvercovým číslem má rovnice jen dvojici řešení ${\displaystyle (\pm 1,0)}$, která má vždy a označují se tedy triviální řešení.[1] Naopak není-li číslo ${\displaystyle N}$ čtvercem, pak má úloha nekonečně mnoho řešení, jak dokázal již Joseph-Louis Lagrange.

K nalezení základního řešení je možné použít řetězový zlomek vyjadřující ${\displaystyle {\sqrt {N}}}$.[1] Ze základního řešení ${\displaystyle x_{0},y_{0}}$ je možné získat všechna další řešení z rekurentní rovnice s maticovým násobením:[1]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{i+1}\\y_{i+1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{0}&Ny_{0}\\y_{0}&x_{0}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{i}\\y_{i}\end{pmatrix}}}$

Z hlediska abstraktní algebry je nalezení řešení ekvivalentní úloze nalezení jednotek v okruhu celistvých čísel kvadratického tělesa.

Jedním z nejstarších výskytů patřičné úlohy je Archimédova úloha o dobytku.[2] Řešením Pellovy rovnice se zabývali rovněž matematikové ve staré Indii, kde ji zkoumal například Brahmagupta v sedmém století a Bháskara II. ve dvanáctém století.[3]

V novověké Evropě se Pellovou rovnicí zabýval mimo jiné Pierre de Fermat, který o ní také psal v roce 1657 v dopise, jehož adresátem byl jeho přítel Bernard Frénicle de Bessy. Pojmenování rovnice po anglickém matematikovi Johnu Pellovi vzniklo následkem toho, že jej Leonhard Euler mylně považoval za autora jejího řešení.[4]