Pascalův trojúhelník

Základní vlastnosti Pascalova trojúhelníku potvrzují definované vztahy pro kombinační čísla. Pro libovolné číslo řádku ${\displaystyle n}$ (${\displaystyle n=1,2,3...}$ ) platí:

• první a poslední čísla jsou ${\displaystyle 1}$;
• druhá a poslední číslo je ${\displaystyle n}$;
• třetí číslo se rovná trojúhelníkovému číslu (tj. ${\displaystyle 1,3,6,10)}$, obecně platí ${\displaystyle T_{n}=n(n+1)/2}$
• čtvrté číslo je tetraedrické, tj. pyramida s trojúhelníkovou základnou.

1
1   1
1   2   1
1   3   3   1
1   4   6   4   1
1   5  10  10   5   1
1   6  15  20  15   6   1

V Pascalově trojúhelníku jsou symetricky rozmístěna stejná čísla vzhledem k jeho ose souměrnosti. Tato vlastnost je dána tím, že čísla: ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ a ${\displaystyle {\binom {n}{n-k}}}$ se sobě rovnají a mají stejnou vzdálenost od "středu" řádku.[6] Výpočet kombinačního čísla (počítá se v šestém řádku druhé a páté číslo):

${\displaystyle {\binom {5}{1}}={\frac {5!}{1!.4!}}={\frac {5.4!}{1.4!}}={\frac {5}{1}}=5}$

${\displaystyle {\binom {5}{4}}={\frac {5!}{4!.1!}}={\frac {5.4!}{4!.1!}}={\frac {5}{1}}=5}$

V Pascalově trojúhelníku lze nalézt mnoho známých posloupností.

${\displaystyle 2^{0}=1}$

${\displaystyle 2^{1}=2}$

${\displaystyle 2^{2}=4}$

${\displaystyle 2^{3}=8}$

${\displaystyle 2^{4}=16}$

${\displaystyle 2^{5}=32}$

${\displaystyle 2^{6}=64}$

${\displaystyle n=6:1+2+4+8+16+32+64=127}$

Součet čísel v řádku Pascalova trojúhelníku je roven mocnině čísla 2[7].

• nultý (n= 0) řádek: ${\displaystyle 1=2^{0}}$
• první (n = 1) řádek: ${\displaystyle 1+1=2=2^{1}}$
• druhý (n = 2) řádek: ${\displaystyle 1+2+1=4=2^{2}}$
• třetí (n = 3) řádek: ${\displaystyle 1+3+3+1=8={\acute {2^{3}}}}$
• atd.

Součet všech čísel Pascalova trojúhelníku od nultého řádku po ${\displaystyle n}$. řádek je roven číslu ${\displaystyle 2^{n+1}-1}$.

${\displaystyle 2^{n+1}-1}$ = ${\displaystyle 2^{6+1}-1=2^{7}-1=128-1=127}$; součet v tabulce vpravo je stejný.[8][9]

Znázornění: Fibonacciho čísla jako součet diagonál (červené čáry).

Diagonální součty (označené červeně) v Pascalově trojúhelníku jsou Fibonacciho čísla (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...).

Po vypočítání součtů ${\displaystyle s_{n}}$ pro n = 0, 1, 2, 3, 4, 5:

${\displaystyle s_{0}={\tbinom {0}{0}}=1=F_{1}}$; ${\displaystyle {\displaystyle s_{1}={\tbinom {1}{0}}=1=F_{2}}}$; ${\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle s_{2}={\tbinom {2}{0}}+{\tbinom {1}{1}}=2=F_{3}}}}$, ${\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle s_{3}={\tbinom {3}{0}}+{\tbinom {2}{1}}=3=F_{4}}}}$,

${\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle s_{4}={\tbinom {4}{0}}+{\tbinom {3}{1}}+{\tbinom {2}{2}}=5=F_{5}}}}$; ${\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle s_{5}={\tbinom {5}{0}}+{\tbinom {4}{1}}+{\tbinom {3}{2}}=8=F_{6}}}}$

Na základě těchto součtů lze vyslovit domněnku, že posloupnost čísel: ${\displaystyle s_{0},s_{1},s_{2},s_{3}...}$ je rovna posloupnosti ${\displaystyle F_{1},F_{2},F_{3},F_{4}...}$

tj. pro všechna celá nezáporná čísla ${\displaystyle n}$ je ${\displaystyle s_{n}=F_{n+1}}$.

Zobecnění: Pascalův trojúhelník lze snadno zobecnit pro vyšší dimenze. Ve vyšších dimenzích se obecně nazývají Pascalův simplex.

Jedna ze zajímavostí Pascalova trojúhelníku je, že jednotlivé řádky zapsané v desítkové soustavě souvisí s mocninami čísla 11, vzorcem zapsáno ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}10^{k}=11^{n}=(1+10)^{n}}$ kde n je číslo řádku. Číslo sestavené z číslic prvního řádku je rovno ${\displaystyle 11^{0}}$, u druhého řádku ${\displaystyle 11^{1}}$, u třetího ${\displaystyle 11^{2}}$, atd. V řádcích, s dvojcifernými čísly se pak číslice na místě desítek přičítá k číslici vlevo.

${\displaystyle 1=11^{0}}$; ${\displaystyle 11=11^{1}}$; ${\displaystyle 121=11^{2}}$; ${\displaystyle 1331=11^{3}}$; ....

ale pro ${\displaystyle n=5}$ řádek tvoří čísla: ${\displaystyle 1\qquad 5\qquad 10\qquad 10\qquad 5\qquad 1}$; pak zapíšeme ${\displaystyle 161051=11^{5}}$

Obdobně i pro jiné základy než deset a mocniny čísla o jednu větší než základ.

S využitím binomické věty: ${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad }$, Pascalův trojúhelník zobrazí koeficienty, které vznikají při binomickém rozvoji. Příklad: řádek pro n = 2 obsahuje koeficienty 1, 2, 1 pro:

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=1x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+1x^{0}y^{2}}$

Koeficienty jsou čísla ve druhé řadě Pascalova trojúhelníku: ${\displaystyle {2 \choose 0}=1}$, ${\displaystyle {2 \choose 1}=2}$, ${\displaystyle {2 \choose 2}=1}$ .

Řádek pro n = 3 obsahuje koeficienty 1, 3, 3, 1 pro:

${\displaystyle (a\pm b)^{3}=a^{3}\ \pm \ 3\cdot a^{2}b^{1}\ +\ 3\cdot a^{1}b^{2}\ \pm \ b^{3}}$

Řádek pro n = 4 obdobně: 1, 4, 6, 4, 1, je nutno vzít v úvahu znaménko minus:

${\displaystyle (a-b)^{4}=a^{4}\ -\ 4\cdot a^{3}b^{1}\ +\ 6\cdot a^{2}b^{2}\ -\ 4\cdot a^{1}b^{3}\ +\ b^{4}.}$

Sierpińského trojúhelník (přiblížení 7. rekurze)

Obecně platí pro: ${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{n-k}y^{k}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\ldots +a_{n-1}xy^{n-1}+a_{n}y^{n}}$

kde koeficienty ${\displaystyle a_{k}}$ v tomto rozvoji jsou přesně čísla na řádku ${\displaystyle n}$ Pascalova trojúhelníku. Jinými slovy, ${\displaystyle a_{k}={n \choose k}}$[6]

V Pascalově trojúhelníku lze najít i určitou geometrickou strukturu. Pokud všechna sudá čísla vybarvíme jednou barvou a lichá čísla jinou, získáme útvar zvaný Sierpinského trojúhelník, který patří mezi fraktální útvary.[9]