Okrajová úloha

Okrajová úloha se podobá počáteční úloze: zatímco okrajová úloha má podmínky zadané v mezních bodech („okrajích“) nezávislé proměnné v rovnici, počáteční úloha má podmínky zadané v jednom určitém bodě nezávislé proměnné (který je dolní mezí definičního oboru, odtud termín „počáteční“ hodnota).

Například jestliže nezávislou proměnnou je čas v intervalu <0,1>, jsou v okrajové úloze zadány hodnoty ${\displaystyle y(t)}$ v bodech ${\displaystyle t=0}$ a ${\displaystyle t=1}$, zatímco v počáteční úloze jsou zadány hodnoty ${\displaystyle y(t)}$ a ${\displaystyle y'(t)}$ v čase ${\displaystyle t=0}$.

Okrajovou úlohou je například hledání teploty ve všech bodech ocelového profilu, jehož jeden konec je chlazen na absolutní nulu a druhý na teplotu tuhnutí vody.

Pokud je problém závislý na prostoru i čase, můžeme zadat hodnotu problému v daném bodě v libovolném čase nebo v daném čase pro libovolné místo.

Konkrétním příkladem okrajové úlohy (s jedním prostorovým rozměrem) je řešení rovnice

${\displaystyle y''(x)+y(x)=0\,}$

jejímž řešením má být funkce ${\displaystyle y(x)}$ s okrajovými podmínkami

${\displaystyle y(0)=0,\ y(\pi /2)=2.}$

Obecné řešení této rovnice bez okrajových podmínek je

${\displaystyle y(x)=A\sin(x)+B\cos(x).\,}$

Z okrajové podmínky ${\displaystyle y(0)=0}$ dostáváme

${\displaystyle 0=A\cdot 0+B\cdot 1}$

z čehož plyne, že ${\displaystyle B=0.}$ Z okrajové podmínky ${\displaystyle y(\pi /2)=2}$ dostáváme

${\displaystyle 2=A\cdot 1}$

čili ${\displaystyle A=2.}$ Vidíme, že stanovení okrajové podmínky nám dovolilo nalézt jednoznačné řešení, kterým je v tomto případě

${\displaystyle y(x)=2\sin(x).\,}$