Obousměrné sledování cest

Při formulaci teorie path tracingu se příspěvek místa definuje jako integrál radiance v tomto místě, která pochází od světelného zdroje.

${\displaystyle L(\mathbf {x} ,\omega _{o})=L_{e}(\mathbf {x} ,\omega _{o})+\int _{H}L(r(\mathbf {x} ,\omega _{i}),-\omega _{i})\cdot f_{r}(\mathbf {x} ,\omega _{i},\omega _{o})\cdot cos(\theta _{i})\mathrm {d} \omega _{i}.}$

Pro light tracing zkusme "otočit směr". Zaveďme si tzv. důležitost ${\displaystyle W}$, která bude pocházet od kamery a pro dané místo a směr bude určovat důležitost (příspěvek, váhu) daného místa pro konečnou barvu pixelu na kameře.

${\displaystyle W(\mathbf {x} ,\omega _{o})=W_{e}(\mathbf {x} ,\omega _{o})+\int _{H}W(r(\mathbf {x} ,\omega _{i}),-\omega _{i})\cdot f_{r}(\mathbf {x} ,\omega _{o},\omega _{i})\cdot cos(\theta _{i})\mathrm {d} \omega _{i}.}$

Vidíme, že obě rovnice si jsou podobné, popisují stejnou věc. Jsou definovány rekurzivně a obě mluví o cestách paprsků, tvořených body ${\displaystyle \mathbf {x} }$. První se stala motivací pro path gracing, ta druhá pro light tracing.

Nejdříve se pokusme dostat od rovnic výše k rovnicím, které počítají s cestami a s body na nich. Místo bodu a směru zkusme uvažovat bod a k němu další bod scény, který je v daném směru nejblíže. Při této úvaze můžeme přeformulovat značení radiance a BRDF:

${\displaystyle L(x,x')\equiv L(x,\omega )}$

${\displaystyle f_{r}(x,x',x'')\equiv f_{r}(x',\omega _{i},\omega _{o})}$

Stejným způsobem můžeme přeznačit i zobrazovací rovnici:

${\displaystyle L(x',x'')=L_{e}(x',x'')+\int _{M}L(x,x')\cdot f_{r}(x,x',x'')\cdot G(x,x')dM_{x}}$

Kde M jsou všechny povrchy scény a ${\displaystyle G(x,x')}$ zastupuje kosínové faktory z původní rovnice a zároveň viditelnost bodů:

${\displaystyle G(x\leftrightarrow x')=V(x\leftrightarrow x')\cdot {\frac {|\cos \theta _{0}\cos \theta _{i}'|}{||x-x'||^{2}}}}$

Nyní můžeme pro nějakou cestu ${\displaystyle x_{0}\dots x_{k}}$ můžeme definovat funkci příspěvku k pixelu j:

${\displaystyle f_{j}({\bar {x}})=L_{e}(x_{0},x_{1})\cdot G(x_{0},x_{1})\cdot \prod _{i=1}^{k-1}f_{r}(x_{i-1},x_{i},x_{i+1})\cdot G(x_{i},x_{i+1})\cdot W_{e}^{(j)}(x_{k-1},x_{k})}$

Vidíme, že funkce zohledňuje počáteční radianci na světle, hodnoty BRDF, viditelnost a úhly dopadu (vše součástí G) na každém bodě cesty a také jakousi důležitost W u samotného pixelu. Vidíme tedy, že čím více bodů cesta obsahuje, čím jsou od sebe body dál a čím "nižší" jsou úhly dopadů, tím menší má příspěvek.