Zobrazovací rovnice

Základní podoba - výpočet integrálu přes prostorové úhly v hemisféře

Zobrazovací rovnice ve své úhlové formě:

${\displaystyle L(\mathbf {x} ,\omega _{o})=L_{e}(\mathbf {x} ,\omega _{o})+\int _{H}L(r(\mathbf {x} ,\omega _{i}),-\omega _{i})\cdot f_{r}(\mathbf {x} ,\omega _{i}\rightarrow \omega _{o})\cdot cos(\theta _{i})\mathrm {d} \omega _{i}}$

Kde

${\displaystyle L(\mathbf {x} ,\omega _{o})}$ značí celkovou vyslanou zář (radianci) z bodu ${\displaystyle \mathbf {x} }$ podél paprsku ve směru ${\displaystyle \omega _{o}}$,

${\displaystyle L_{e}(\mathbf {x} ,\omega _{o})}$ značí zář (radianci) emitovanou zdrojem z bodu ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ve směru ${\displaystyle \omega _{o}}$,

${\displaystyle H}$ hemisféru ve směru normály se středem v ${\displaystyle \mathbf {x} }$, přes kterou integrujeme (viz obr.),

${\displaystyle \omega _{i}}$ směr příchozího paprsku

${\displaystyle \theta _{i}}$ je velikost úhlu mezi ${\displaystyle \omega _{i}}$ a normálou plochy

${\displaystyle f_{r}(\mathbf {x} ,\omega _{i}\rightarrow \omega _{o})}$ je distribuční funkce odrazu (BRDF) v bodě ${\displaystyle x}$ ze směru ${\displaystyle \omega _{i}}$ do ${\displaystyle \omega _{o}}$.

Situace při výpočtu integrálu přes plochu scény. Sčítáme zář z diferenciálních plošek z celé scény s ohledem na viditelnost

Protože implementace integrace přes sférický úhel může být nepraktická nebo obtížná, lze převést Zobrazovací rovnici substitucí do tvaru, ve kterém vystupuje integrál přes plochu scény místo přes směry. Po úpravách dostaneme rovnici v následujícím tvaru:

${\displaystyle L(\mathbf {x} ,\omega _{o})=L_{e}(\mathbf {x} ,\omega _{o})+\int _{M}L(\mathbf {y} \rightarrow \mathbf {x} )\cdot f_{r}(\mathbf {y} \rightarrow \mathbf {x} \rightarrow \omega _{o})\cdot G(\mathbf {x} \leftrightarrow \mathbf {y} )\cdot V(\mathbf {x} \leftrightarrow \mathbf {y} )\mathrm {d} A_{y}}$

Kde

${\displaystyle L(\mathbf {y} \rightarrow \mathbf {x} )}$ je přepis ${\displaystyle L(r(\mathbf {x} ,\omega _{i}),-\omega _{i})}$ do podoby záře vyslané z bodu ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ve směru k bodu ${\displaystyle \mathbf {x} }$

obdobně pak ${\displaystyle f_{r}(\mathbf {y} \rightarrow \mathbf {x} \rightarrow \omega _{o})}$ popisuje odraz paprsku, přicházejícího z ${\displaystyle \mathbf {y} }$, v bodě ${\displaystyle \mathbf {x} }$, odraženého ve směru ${\displaystyle \omega _{o}}$

${\displaystyle G(\mathbf {x} \leftrightarrow \mathbf {y} )={\frac {cos(\theta _{x})cos(\theta _{y})}{||\mathbf {x} -\mathbf {y} ||^{2}}}}$ je tzv. geometrický člen, který zohledňuje orientaci daných ploch v prostoru a

${\displaystyle V(\mathbf {x} \leftrightarrow \mathbf {y} )}$ je funkce viditelnosti, přičemž ${\displaystyle =1}$ pokud jsou vzájemně viditelné, ${\displaystyle =0}$ jinak.

${\displaystyle M}$ značí celou plochu scény, přes kterou integrujeme,

${\displaystyle A}$ je diferenciální ploška, podle které integrujeme.

Pro reprezentaci světla budeme používat fyzikální veličinu zář (radianci) vyjádřenou jednotkami ve ${\displaystyle W.m^{-2}.sr^{-1}}$. Začneme od nejjednoduššího zápisu a dále jej budeme rozvíjet až do odvození forem uvedených výše.

Řekněme, že radiance v odchozím směru ${\displaystyle L_{o}}$ na povrchu scény je rovna součtu radiance odražené od povrchu v tomto směru ${\displaystyle L_{r}}$ a radiance emitované daným směrem ${\displaystyle L_{e}}$ (v případě světelného zdroje).

${\displaystyle L_{o}=L_{e}+L_{r}}$

Neboli

${\displaystyle L_{o}(\mathbf {x} ,\omega _{o})=L_{e}(\mathbf {x} ,\omega _{o})+L_{r}(\mathbf {x} ,\omega _{o})}$

Kde

${\displaystyle \mathbf {x} }$ je bod ve scéně a

${\displaystyle \omega _{o}}$ značí odchozí směr.

Nyní se podíváme na člen ${\displaystyle L_{r}(\mathbf {x} ,\omega _{o})}$. Tento vychází z matematického popisu odrazu paprsku od povrchu scény, neboli BRDF (Bidirectional Reflectance Distribution Function), což je funkce vyjadřující subkritickou hustotu pravděpodobnosti (její integrál může být < 1, tedy světlo může být pohlcováno povrchy), že se foton, který na povrch dopadne, odrazí daným směrem.

${\displaystyle f_{r}(\mathbf {x} ,\omega _{i}\rightarrow \omega _{o})={\frac {\mathrm {d} L_{r}(\omega _{o})}{\mathrm {d} E(\omega _{i})}}={\frac {\mathrm {d} L_{r}(\omega _{o})}{L_{i}(\omega _{i})cos\theta _{i}\mathrm {d} \omega _{i}}}[sr^{-1}]}$

A tedy

${\displaystyle \mathrm {d} L_{r}(\omega _{o})=f_{r}(\mathbf {x} ,\omega _{i}\rightarrow \omega _{o})\cdot L_{i}(\omega _{i})\cdot cos\theta _{i}\mathrm {d} \omega _{i}}$,

po integraci

${\displaystyle L_{r}(\mathbf {x} ,\omega _{o})=\int _{H}L_{i}(\mathbf {x} ,\omega _{i})\cdot f_{r}(\mathbf {x} ,\omega _{i}\rightarrow \omega _{o})\cdot cos\theta _{i}\mathrm {d} \omega _{i}}$.

Kde

${\displaystyle f_{r}()}$ je funkce BRDF a

${\displaystyle L_{i}()}$ vyjadřuje příchozí zář (radianci) .

Tímto dostáváme rovnici odrazu, která vyjadřuje interakci světla s povrchem scény.

${\displaystyle L_{o}(\mathbf {x} ,\omega _{o})=L_{e}(\mathbf {x} ,\omega _{o})+\int _{H}L_{i}(\mathbf {x} ,\omega _{i})\cdot f_{r}(\mathbf {x} ,\omega _{i}\rightarrow \omega _{o})\cdot cos\theta _{i}\mathrm {d} \omega _{i}}$

Z rovnice odrazu lze pomocí snadné úvahy a vyjádření L_i pomocí L_o získat Zobrazovací rovnici. Nejprve si zavedeme funkci vržení paprsku, jako

${\displaystyle r(\mathbf {x} ,\omega _{i})}$ bod na povrchu scény, protnutý paprskem z bodu ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ve směru ${\displaystyle \omega _{i}}$,

Protože je radiance podél paprsku konstantní, platí

${\displaystyle L_{i}(\mathbf {x} ,\omega _{i})=L_{o}(r(\mathbf {x} ,\omega _{i}),-\omega _{i})}$

Dosazením předchozí rovnosti do rovnice odrazu získáme Zobrazovací rovnici

${\displaystyle L_{o}(\mathbf {x} ,\omega _{o})=L_{e}(\mathbf {x} ,\omega _{o})+\int _{H}L_{o}(r(\mathbf {x} ,\omega _{i}),-\omega _{i})\cdot f_{r}(\mathbf {x} ,\omega _{i}\rightarrow \omega _{o})\cdot cos(\theta _{i})\mathrm {d} \omega _{i}}$

Situace substituce diferenciální plošky za diferenciální prostorový úhel. Zde je třeba vzít v úvahu vzdálenost a natočení plošky

Rovnici v plošném tvaru získáme substitucí. Prosté dosazení diferenciální plošky za diferenciální úhel ale nestačí. Je třeba také vzít v úvahu to, že se intenzita záření mění s kosinem úhlu natočení od normály (Lambertův zákon) a klesá úměrně čtverci vzdálenosti (viz obr.). S těmito znalostmi již můžeme vyjádřit následující vztah mezi diferenciální plochou a diferenciálním úhlem :

${\displaystyle \mathrm {d} \omega =\mathrm {d} A\cdot cos(\theta )\cdot r^{-2}}$

Po substituci tedy

${\displaystyle L_{o}(\mathbf {x} ,\omega _{o})=L_{e}(\mathbf {x} ,\omega _{o})+\int _{M}L_{o}(\mathbf {y} \rightarrow \mathbf {x} )\cdot f_{r}(\mathbf {y} \rightarrow \mathbf {x} \rightarrow \omega _{o})\cdot G(\mathbf {x} \leftrightarrow \mathbf {y} )\cdot V(\mathbf {x} \leftrightarrow \mathbf {y} )\mathrm {d} A_{y}}$

Kde

${\displaystyle G(\mathbf {x} \leftrightarrow \mathbf {y} )={\frac {cos(\theta _{x})cos(\theta _{y})}{||\mathbf {x} -\mathbf {y} ||^{2}}}}$ je tzv. geometrický člen, který zohledňuje orientaci daných ploch v prostoru a

${\displaystyle V(\mathbf {x} \leftrightarrow \mathbf {y} )=\{_{0\ldots jinak}^{1\ldots x\ a\ y\ jsou\ vzajemne\ viditelne}}$ je funkce viditelnosti.

Pozor: Neplést rovnici odrazu (jednoduchá rovnice popisující interakci světla s povrchem) se Zobrazovací rovnicí (integrální rovnice vyjadřující stav osvětlení v celé scéně - obecně těžko řešitelná).

Formálně vzato je zobrazovací rovnice integrální rovnicí druhého druhu, která v obecném tvaru vypadá takto:

${\displaystyle f(x)=g(x)+\int k(x,t)\cdot f(t)\,\mathrm {d} t}$

V tomto tvaru je však typicky analyticky neřešitelná. Pro stručnější zápis integrálu si zavedeme operátor :${\displaystyle T}$, též transportní operátor. Chceme jej použít na funkci vycházející radiance ${\displaystyle L(x,\omega )}$, a proto tento operátor bude zobrazení z množiny funkcí ${\displaystyle f:M\times S\rightarrow \mathbb {R} }$ do té samé množiny (kde ${\displaystyle S}$ je jednotková koule, tj. všechny směry). Transportní operátor definujeme jako:

${\displaystyle (T\circ L)(x,\omega _{o})=\int _{H}L(r(x,\omega _{i}),-\omega _{i})\cdot f_{r}(x,\omega _{i}\rightarrow \omega _{o})\cdot \cos(\theta _{i})\,\mathrm {d} \omega _{i}}$

a tedy tvar ZR se zjednoduší na

${\displaystyle L=L_{e}+T\circ L}$

V této podobě vyjadřuje vztah množství světla, vyzářeného (primárními) zdroji světla, které dorazí na danou plošku.

Ze vztahu

${\displaystyle L=L_{e}+T\circ L}$

se můžeme pokusit rekurzivně vyjádřit ${\displaystyle L}$, dosazením do téže rovnice získáváme díky linearitě operátoru

${\displaystyle L=L_{e}+T\circ L_{e}+T^{2}\circ L}$

Dalšími iteracemi dospějeme ke vztahu

${\displaystyle L=\sum \limits _{i=0}^{n}(T^{i}\circ L_{e})+T^{n+1}\circ L}$

Pro dokonalou simulaci v rámci modelu ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ (pak se tato řada nazývá Neumannova). Velmi důležité pozorování je, že ${\displaystyle T}$ je kontrakce, formálně řečeno ${\displaystyle ||T\circ L||\leq ||L||}$. Míníme tím, že celkové množství světla se aplikací operátoru zmenší. To plyne přímo ze zákona zachování energie -- odražené paprsky můžou mít v součtu nejvýše stejnou energii jako ty dopadající (běžné materiály odráží nejvýše asi 80% dopadající světelné energie). Z toho vyplývá, že můžeme vyšší mocniny zanedbat a to, co nám zůstalo, už není integrální rovnice, ale jen konvergentní řada obsahující integrál, kterou umíme vyhodnocovat metodou Monte Carlo integrování.

OpenGL tuto rovnici neřeší, ale trochu ji obchází tím, že používá bodové světelné zdroje, čímž lze integrál zdiskretizovat do sumy. Výsledkem není ustálený stav scény.

Metodou konečných prvků, anglicky Finite element method, tuto rovnici řešit lze, její řešení je však plné zjednodušení, takže například neuvažuje směrovost dopadajících paprsků nebo lesklé odrazy. Tento způsob řešení Zobrazovací rovnice se nazývá Radiozita a byla poprvé představena v r. 1984 C. Goralem. [3]

Metoda Sledování paprsku byla představena T.Whittedem v r. 1980. [4] Po dotazu na osvětlení na povrchu scény postupuje rekurzí a vrhá jeden světelný paprsek, takže počítá pouze příspěvky přímého osvětlení na difuzních plochách a ideální zrcadlové odlesky. Naopak neřeší nepřímé osvětlení na difuzních plochách ani např. měkké stíny.

Metoda Distribuovaného sledování paprsku představená v r. 1984 R. Cookem[5] již používá k odhadu lokálního integrálu metodu Monte Carlo a dokáže si tak poradit s měkkými odrazy a stíny, hloubkou ostrosti aj.

V dnešní době asi nejpoužívanější metodou řešení integrální Zobrazovací rovnice je metoda Sledování cest, kterou poprvé představil J. Kajiya v r. 1986. [6] Tato metoda používá k řešení metodu Monte Carlo a v podstatě simuluje dráhu jednoho paprsku formou náhodné procházky. Jde o metodu statisticky konzistentní a nevychýlenou (unbiased) a dokáže si poradit s nepřímým osvětlením, měkkými stíny, lesklými odrazy, atd.