Dostředivé zrychlení

Při křivočarém pohybu je výhodné rozložit zrychlení do směru pohybu, tzn. do směru tečny k trajektorii, a do směru kolmého k pohybu, tzn. do směru normály k trajektorii. Hovoříme pak o tečném zrychlení a normálovém (také dostředivém) zrychlení.

Směr kolmý k trajektorii je dán normálou trajektorie a složka zrychlení, která má stejný směr jako tato normála, se označuje jako normálové zrychlení (hovoří se také o normálové složce zrychlení) $\mathbf {a} _{n}$ . Normálové zrychlení směřuje do středu křivosti trajektorie, a proto se často nazývá dostředivým zrychlením a značí $\mathbf {a} _{d}$ .

Vektor a velikost normálového zrychlení

Pro velikost normálového zrychlení platí vztah

a_{n}={\frac {\mathrm {d} v_{n}}{\mathrm {d} t}}={\frac {v^{2}}{\rho }}

,

kde $\mathrm {d} v_{n}$ je změna velikosti rychlosti ve směru normály k trajektorii pohybu, $\mathbf {v}$ je okamžitá rychlost a $\rho$ je poloměr křivosti v daném bodě trajektorie.

Velikost dostředivého zrychlení závisí na rychlosti (obvodové nebo úhlové) a na poloměru zakřivení trajektorie (u pohybu po kružnici na poloměru kružnice). Směr dostředivého zrychlení je do středu zakřivení (do středu kružnice) a je kolmý k vektoru rychlosti.

Dostředivé zrychlení při rovnoměrném pohybu po kružnici

Při rovnoměrném pohybu po kružnici je poloměr křivosti $\rho$ roven poloměru kružnice $r$ . Použijeme-li navíc vztah mezi obvodovou a úhlovou rychlostí, pak pro velikost dostředivého zrychlení získáme vztah

a_{d}={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}\cdot r\,

,

kde v je velikost obvodové rychlosti, ω úhlová rychlost, r je poloměr kružnice.

Odvození

K odvození velikosti dostředivého zrychlení

{\vec {a}}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}

{\frac {v_{a}}{\Delta v}}={\frac {r}{\Delta s}}

Vzorec vyplývá z podobnosti rovnoramenných trojúhelníků se stejným vrcholovým úhlem, přičemž trajektorii ${\Delta s}$ aproximujeme přeponou AB, neboť ta se k trajektorii limitně blíží.

v_{a}\cdot \Delta s=r\cdot \Delta v

\Delta v={\frac {v_{a}\cdot \Delta s}{r}}

{\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {v_{a}}{r}}\cdot {\frac {\Delta s}{\Delta t}}

Obě strany rovnice vydělíme ${\Delta t}$ a interpretujeme vzniklé derivace (diferenciály) jako zrychlení a rychlost.

a={\frac {v_{a}}{r}}\cdot v_{a}

\rightarrow a={\frac {v_{a}^{2}}{r}}\Leftrightarrow a=\omega ^{2}\cdot r

Související články

Zrychlení
Tečné zrychlení
Dostředivá síla

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.