Ekvivalence (logika)
Název ekvivalence je v logice používán pro binární logický operátor značený symbolem ⇔ ().
Významově odpovídá tento operátor větné konstrukci „právě tehdy, když“ (anglicky if and only if) — ekvivalence tedy říká, že spojovaná tvrzení platí pouze zároveň (obě ano, nebo obě ne). Tomu odpovídá i pravdivostní tabulka této operace.
Pravdivostní tabulka
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
Vlastnosti a použití
Ekvivalence je používána v logických výpočtech podobným způsobem, jako relace = v aritmetických výpočtech — takový výpočet je obvykle posloupnost ekvivalencí, jako v následujícím případě:
Pravdivostní hodnota ekvivalence je shodná s pravdivostní hodnotou oboustranné implikace, tj. následující dvě formule mají stejnou pravdivostní tabulku:
V dvouhodnotové extenzionální logice je pravdivostní hodnota ekvivalence inverzní k pravdivostní hodnotě exkluzivní disjunkce, tj. následující dvě formule mají stejnou pravdivostní tabulku:
Pomůcka k pochopení funkce ekvivalence v matematice
Oba členy ekvivalence představují totéž vyjádřené různými slovy. Jejich pravdivostní hodnoty nejsou tedy závislé na dočasnosti či smyslovém vnímání a hodí se proto k použití v matematice.
Např.:
"Máme dokázat že relace je ekvivalencí na množině výroků M. Množinu M můžeme rozložit na třídy M1 (pravdivých výroků) a M2 (nepravdivých výroků). značí: A i B patří do stejné třídy, tedy buď A, B jsou prvky M1 nebo A, B jsou prvky M2. Vztahem je dán rozklad na množině M (na třídy M1, M2), a tedy vztah je ekvivalence příslušná tomuto rozkladu."[1]
Reference
- HOŘEJŠOVÁ, Milena. Řešené příklady z matematiky pro VŠE. Praha: SNTL/ALFA, 1980. Kapitola Základní pojmy matematiky, s. 13.
Související články
- Booleova algebra
- Konjunkce
- Disjunkce
- Negace
- Implikace
- Existenční kvantifikátor
- Ekvivalence (matematika)